Cho tam giác ABC cân tại A, hai trung tuyến BM,CN cắt nhau tại K. Chứng minh: a, Tam giác BNC= tam giác CMB b, BKC cân tại K c, MN // BC

a) Ta có $\displaystyle \vartriangle ABC$ cân tại $\displaystyle A\Longrightarrow AB=AC$ và $\displaystyle \hat{B} =\hat{C}$

⟹ $\displaystyle \frac{1}{2} AB=\frac{1}{2} AC$ hay $\displaystyle BN=CM$

Xét $\displaystyle \vartriangle BNC$ và $\displaystyle \vartriangle CMB$ có: $\displaystyle \begin{cases}
BN=CM & \\
\widehat{NBC} =\widehat{MCB} & \\
BC\ chung & 
\end{cases} \Longrightarrow \vartriangle BNC=\vartriangle CMB\ ( c.g.c)$

b) Vì $\displaystyle \vartriangle BNC=\vartriangle CMB\Longrightarrow \widehat{BCN} =\widehat{CBM}$

Xét $\displaystyle \vartriangle BKC$ có $\displaystyle \widehat{KBC} =\widehat{KCB} \Longrightarrow \vartriangle BKC$ cân tại $\displaystyle K$

c) Xét $\displaystyle \vartriangle ANM$ có $\displaystyle AN=AM\ \left( =\frac{1}{2} AB\right)$

⟹ $\displaystyle \vartriangle ANM\ $cân tại $\displaystyle A$

⟹ $\displaystyle \widehat{ANM} =\frac{180^{o} -\hat{A}}{2}$

Mặt khác trong $\displaystyle \vartriangle ABC\ $cân tại $\displaystyle A$ có $\displaystyle \hat{B} =\frac{180^{o} -\hat{A}}{2}$

⟹$\displaystyle \ \widehat{ANM} =\widehat{ABC}$

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị ⟹ $\displaystyle MN//BC$