Giả sử số dân tỉnh A năm ngoái là $x$ người, số dân tỉnh B năm ngoái là $y$ người. Theo đề bài, ta có:
$x + y = 4000000.$
Năm nay, tỉnh A tăng 1,2% nên số dân tỉnh A năm nay là $x + 1,2\% \cdot x = x + 0,012x = 1,012x$.
Tỉnh B tăng 1,1% nên số dân tỉnh B năm nay là $y + 1,1\% \cdot y = y + 0,011y = 1,011y$.
Tổng số dân năm nay là 4045000 người, nên ta có:
$1,012x + 1,011y = 4045000.$
Ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} x + y = 4000000 \\ 1,012x + 1,011y = 4045000 \end{cases}.$
Nhân phương trình thứ nhất với 1,012, ta được:
$\begin{cases} 1,012x + 1,012y = 4040000 \\ 1,012x + 1,011y = 4045000 \end{cases}.$
Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:
$0,001y = 5000 \Rightarrow y = \frac{5000}{0,001} = 5000000.$
Thay $y = 5000000$ vào phương trình thứ nhất, ta được:
$x + 5000000 = 4000000 \Rightarrow x = 4000000 - 5000000 = -1000000.$
Giá trị $x = -1000000$ không có nghĩa trong thực tế, nên ta đã mắc phải một sai lầm.
Thực tế, ta nên giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Ở đây, ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số.
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất, ta được:
$(1,012x + 1,011y) - (x + y) = 4045000 - 4000000 \Rightarrow 0,012x - 0,011y = 45000.$
Nhân phương trình này với 1000, ta được:
$12x - 11y = 4500000.$
Ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} x + y = 4000000 \\ 12x - 11y = 4500000 \end{cases}.$
Giải hệ này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số, ta được:
$x = 2500000, y = 1500000.$
Vậy, số dân tỉnh A năm ngoái là 2500000 người, năm nay là $1,012 \cdot 2500000 = 2530000$ người.
Số dân tỉnh B năm ngoái là 1500000 người, năm nay là $1,011 \cdot 1500000 = 1516500$ người.