giải giúp mình với

Câu 3. a) Khi $m=1$ đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị. Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình $y'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt. Ta có $y=\frac{mx^2+(3m^2-2)x-2}{x+3m}$ nên $y'=\frac{(2m)x+(3m^2-2)}{(x+3m)^2}$. Khi $m=1$, ta có $y'=\frac{2x+1}{(x+3)^2}$. Phương trình $y'=0$ trở thành $\frac{2x+1}{(x+3)^2}=0$. Tử số bằng 0 khi $2x+1=0$ hay $x=-\frac{1}{2}$. Mẫu số luôn dương với mọi $x$. Vậy phương trình $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=-\frac{1}{2}$, do đó hàm số không có 2 điểm cực trị. Mệnh đề a) sai. b) Khi $m=1$ đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y=x-2$. Khi $m=1$, hàm số trở thành $y=\frac{x^2+x-2}{x+3}$. Ta có $\lim_{x\to -\infty} y = \lim_{x\to -\infty} \frac{x^2+x-2}{x+3} = 1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$. Ta có $\lim_{x\to +\infty} y = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2+x-2}{x+3} = 1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$. Ta có $\lim_{x\to -3^+} y = \lim_{x\to -3^+} \frac{x^2+x-2}{x+3} = -\infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-3$. Ta có $y - 1 = \frac{x^2+x-2}{x+3} - 1 = \frac{x^2+x-2 - x - 3}{x+3} = \frac{x^2-4}{x+3} = x - 2$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y=x-2$. Mệnh đề b) đúng. c) "Khi $m=1$ giao điểm của đường tiệm cận xiên và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $I(3;-5)$". Giao điểm của đường tiệm cận xiên và tiệm cận đứng là nghiệm của hệ phương trình: $\begin{cases} x = -3 \\ y = x - 2 \end{cases}$. Thay $x=-3$ vào phương trình $y=x-2$ ta được $y=-3-2=-5$. Vậy giao điểm của đường tiệm cận xiên và tiệm cận đứng là $I(-3;-5)$, không phải là $I(3;-5)$. Mệnh đề c) sai. d) Có 2 giá trị m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng $45^0$. Góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1) chính là góc giữa hai đường thẳng $x=-3m$ và $y=x-2$. Hệ số góc của đường thẳng $x=-3m$ là 0, hệ số góc của đường thẳng $y=x-2$ là 1. Góc giữa hai đường thẳng này là $\arctan \frac{1}{0}$, không xác định. Vậy không có giá trị m nào để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng $45^0$. Mệnh đề d) sai. Câu 4. a) Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là $x=1$. Để tìm tiệm cận đứng của hàm số, ta tìm các giá trị của $x$ làm cho mẫu số bằng 0. Tức là giải phương trình $x+1=0$. Ta được $x=-1$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải là $x=1$. Mệnh đề này sai. b) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại M. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là $y=2x-1$. Để tìm giao điểm của đồ thị với trục Oy, ta cho $x=0$ vào hàm số, ta được $y=0-\frac{1}{0+1}=-1$. Vậy giao điểm là M(0,-1). Đạo hàm của hàm số là $y'=1+\frac{1}{(x+1)^2}$. Tại M(0,-1), $y'(0)=1+\frac{1}{(0+1)^2}=2$. Phương trình tiếp tuyến tại M là $y-(-1)=2(x-0)$, hay $y=2x-1$. Mệnh đề này đúng. c) Tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với nhau. Giả sử hai tiếp tuyến có hệ số góc là $k_1$ và $k_2$. Vì chúng vuông góc với nhau nên $k_1.k_2=-1$. Từ $y'=1+\frac{1}{(x+1)^2}$, ta thấy $k_1$ và $k_2$ là nghiệm của phương trình $(1+\frac{1}{(x+1)^2})(1+\frac{1}{(y+1)^2})=-1$. Giải phương trình này khá phức tạp, nhưng thực tế thì không cần thiết. Vì nếu có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì chúng phải cắt nhau tại tâm đối xứng của đồ thị, đó là điểm uốn của đồ thị. Điểm uốn là nghiệm của phương trình $y''=0$. Tính $y''=2+\frac{4}{(x+1)^3}$, rồi giải phương trình $2+\frac{4}{(x+1)^3}=0$, ta tìm được điểm uốn là $I(-1,-\frac{1}{2})$. Từ I kẻ hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị, thì chúng cắt trục hoành tại hai điểm A và B sao cho $OA=OB$. Điều này chứng tỏ rằng tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với nhau. Mệnh đề này đúng. d) Để đường thẳng $y=k$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho $OA\bot OB$ khi đó k là nghiệm của phương trình $k^2-k-1=0$. Nếu $y=k$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho $OA\bot OB$ thì theo mệnh đề c), k phải là nghiệm của phương trình $k^2-k-1=0$. Mệnh đề này sai. Câu 5. a) Khi $m=0$ thì hàm số trở thành $y=\frac{-x^2+2x-5}{x-1}$. Để tìm tiệm cận xiên, ta tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực: $\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2+2x-5}{x-1}=-\lim_{x\to\infty}\frac{x^2(1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2})}{x(1-\frac{1}{x})}=-\lim_{x\to\infty}x\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=-1.$ $\lim_{x\to\infty}(y-(-x+1))=\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2+2x-5}{x-1}-(-x+1)=\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2+2x-5-(-x^2+x)}{x-1}=0.$ Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y=-x+1$. Mệnh đề a) đúng. b) Khi $m=0$ thì hàm số trở thành $y=\frac{-x^2+2x-5}{x-1}$. Để tìm giao điểm của đồ thị với trục $Ox$, ta giải phương trình $y=0$: $\frac{-x^2+2x-5}{x-1}=0.$ Từ đây suy ra $-x^2+2x-5=0$. Phương trình này vô nghiệm, vậy đồ thị không cắt trục $Ox$. Mệnh đề b) đúng. c) Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình $-x^2+2(m+1)x-5=0$ phải có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với $\Delta'= (m+1)^2-(-1)(-5)=m^2+2m-4>0$. Giải bất phương trình này, ta được $m< -2+\sqrt{6}$ hoặc $m> -2-\sqrt{6}$. Vậy mệnh đề c) sai. d) Tâm đối xứng của đồ thị là điểm $I(1, m+2)$. Để tìm điểm $M$ thuộc đồ thị sao cho $x_M>1$ và khoảng cách $IM$ ngắn nhất, ta cần tìm hình chiếu của $I$ lên đường thẳng $x=1$. Đó chính là điểm $M(1, m+2)$. Tung độ của $M$ là $y_M=m+2$. Theo đề bài, $y_M< -4$, tức là $m+2< -4$, suy ra $m< -6$. Mặt khác, theo mệnh đề c), ta đã biết $m< -2+\sqrt{6}$ hoặc $m> -2-\sqrt{6}$. Kết hợp hai điều kiện này, ta thấy không tồn tại $m$ thỏa mãn mệnh đề d). Mệnh đề d) sai. Vậy các mệnh đề a), b) đúng, các mệnh đề c), d) sai. Câu 6. a) Khi $m=1$ hàm số trở thành $y=\frac{-x^2+2x-3}{x-1}$. Đạo hàm của hàm số là $y' = \frac{-x^2+2x-3 - (-x^2+2x-1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$. Đạo hàm không xác định tại $x=1$, nhưng đạo hàm không đổi dấu qua $x=1$ nên hàm số không có cực trị tại $x=1$. Vậy mệnh đề a) sai. b) Khi $m=1$ hàm số trở thành $y=\frac{-x^2+2x-3}{x-1}$. Để tìm giao điểm của đồ thị với trục Ox, ta cho $y=0$ và giải phương trình $-x^2+2x-3=0$. Phương trình này vô nghiệm, nên đồ thị không cắt trục Ox. Vậy mệnh đề b) đúng.