Cho AB là 1 dây không đi qua tâm của đường tròn (O).Đường thẳng O và vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở điểm C .Chứng minh rằng CB là một tiếp tuyến của (O) [VẼ HÌNH]

Question

Cho AB là 1 dây không đi qua tâm của đường tròn (O).Đường thẳng O và vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở điểm C .Chứng minh rằng CB là một tiếp tuyến của (O)   [VẼ HÌNH]

Timi · Accepted Answer

Vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận:

- Đường tròn (O) có tâm O, dây AB không đi qua tâm O, đường thẳng OC vuông góc với AB tại I, C là giao điểm của OC và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O).
- Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải:

Ta có: $OA = OB$ (bán kính của đường tròn (O)) nên tam giác OAB cân tại O.

Vì OC vuông góc với AB tại I nên I là trung điểm của AB (theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung).

Suy ra: $OI$ là đường trung tuyến của tam giác OAB.

Mặt khác, $OI$ cũng là đường cao của tam giác OAB (vì OC vuông góc với AB).

Do đó, tam giác OAB vuông tại O.

Xét tam giác OCB có: $OC$ vuông góc với $CB$ (vì $CB$ là tiếp tuyến của đường tròn (O)).

Theo định lý Pytago đảo, tam giác OCB vuông tại O.

Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

hasiro1604 · Answer

OA=OB
Suy ra tam giác OAB cân tại O
Có OC là đường cao $\displaystyle ( OC\bot AB)$
Suy ra OC đồng thời là đường phân giác của góc AOB
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{AOC} =\widehat{BOC}$
Xét 2 tam giác AOC và BOC có:
OC chung
OA=OB=R
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{AOC} =\widehat{BOC}\
\Rightarrow \vartriangle AOC=\vartriangle BOC( c.g.c)\
\Rightarrow \widehat{OAC} =\widehat{OBC} =90^{o}\
\Rightarrow OB\bot BC
\end{array}$
Suy ra BC là tiếp tuyến của (O)