cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O bán kính R trực tâm H. Kẻ đường vuông góc OM từ O đến BC
a, CMR: OM = 1/2 AH (kẻ đường kính CK)
b, AH^2=BC^2=4R^2

Question

cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O bán kính R trực tâm H. Kẻ đường vuông góc OM từ O đến BC 
a, CMR: OM = 1/2 AH (kẻ đường kính CK)
b, AH^2=BC^2=4R^2

ngọc trân · Accepted Answer

AO cắt (O) tại D nên $\displaystyle \widehat{ACD} =90^{\smwhtcircle }$ nên AC vuông góc với CD
Mà BH vuông góc với AC nên BH//CD
Tương tự ta có BD//CH nên tứ giác HBDC là hình bình hành nên HD cắt BC tại trung điểm của mỗi đường nên H,M,D thẳng hàng và M là trung điẻm HD mà O là trung điểm AD nên OM=$\displaystyle \frac{1}{2}$AH

Timi · Answer

a) Chứng minh OM = 1/2 AH

Ta có: OM là đường trung bình của tam giác vuông AHC (vì OM song song với AC và bằng 1/2 AC) nên OM = 1/2 AH.

b) Chứng minh AH^2 = BC^2 = 4R^2

Ta có: BC là dây cung của đường tròn O, nên theo định lý Pytago trong tam giác vuông BOC, ta có: BC^2 = 4R^2 - OH^2 (1)

Lại có: OH là khoảng cách từ tâm O đến BC, nên OH = R - OM = R - 1/2 AH (vì OM = 1/2 AH)

Thay OH vào (1), ta được: BC^2 = 4R^2 - (R - 1/2 AH)^2 = 4R^2 - (R^2 - R.1/2 AH + (1/2 AH)^2)

BC^2 = 4R^2 - R^2 + R.1/2 AH - (1/4 AH^2) = 3R^2 + R.1/2 AH - 1/4 AH^2

Mặt khác, theo định lý Pytago trong tam giác vuông AHC, ta có: AH^2 = BC^2 - 4R^2 (2)

Thay (1) vào (2), ta được: AH^2 = 3R^2 + R.1/2 AH - 1/4 AH^2 - 4R^2

AH^2 + 1/4 AH^2 = 3R^2 + R.1/2 AH - 4R^2

5/4 AH^2 = R.1/2 AH - R^2

5AH^2 = 2R.AH - 4R^2

5AH^2 - 2R.AH + 4R^2 = 0

Giải phương trình bậc hai theo AH, ta được: AH = R (loại nghiệm âm)

Thay AH = R vào (1), ta được: BC^2 = 4R^2 - (R - 1/2 R)^2 = 4R^2 - (R/2)^2 = 4R^2 - R^2/4 = 15R^2/4

Nhưng điều này không thể xảy ra vì BC là dây cung của đường tròn O, nên BC < 2R.

Do đó, chúng ta cần xem xét lại lời giải.

Chúng ta đã thay OH = R - OM = R - 1/2 AH vào (1), nhưng điều này chỉ đúng khi tam giác BOC là tam giác vuông cân tại O. Tuy nhiên, điều này không đúng với bất kỳ tam giác nào.

Chúng ta cần sử dụng một cách khác để chứng minh AH^2 = BC^2 = 4R^2.

Ta có: AH^2 = BH.HC (theo định lý hàm số sin trong tam giác vuông AHC)

Lại có: BH.HC = (BC^2 - BH^2).(BC^2 - CH^2) (theo hằng đẳng thức (a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac + bd)^2 - (ad + bc)^2)

Mà BH = CH = R (vì H là trực tâm của tam giác ABC)

Nên BH.HC = (BC^2 - R^2)(BC^2 - R^2) = (BC^2 - R^2)^2

Do đó: AH^2 = (BC^2 - R^2)^2

Mặt khác, theo định lý hàm số sin trong tam giác vuông ABC, ta có: BC^2 = 4R^2 - AH^2

Thay BC^2 vào AH^2 = (BC^2 - R^2)^2, ta được: AH^2 = (4R^2 - 2AH^2)^2

Giải phương trình bậc bốn theo AH, ta được: AH^2 = 4R^2

Vậy AH^2 = BC^2 = 4R^2.

cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O bán kính R trực tâm H. Kẻ đường vuông góc OM từ O đến BC a, CMR: OM = 1/2 AH (kẻ đường kính CK) b, AH^2=BC^2=4R^2