Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số chẫn, tổng các số hạng có giá trị lẻ bằng 33 và tổng các số hạng có giá trị chẫn bằng 44 (nhập đáp án vào ô trống)?

Gọi $u$ là công sai của cấp số cộng, $n$ là số số hạng. Tổng các số hạng có giá trị lẻ bằng 33, tổng các số hạng có giá trị chẫn bằng 44. Tổng các số hạng có giá trị lẻ là $\frac{n}{2}(2a + (n - 1)u)$ và tổng các số hạng có giá trị chẫn là $\frac{n}{2}(2a + (n - 1)u + u)$. Theo đề bài, ta có: $\frac{n}{2}(2a + (n - 1)u) = 33$ và $\frac{n}{2}(2a + (n - 1)u + u) = 44$. Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất, ta được: $\frac{n}{2}u = 11$. Suy ra $u = \frac{22}{n}$. Thay vào phương trình thứ nhất, ta được: $\frac{n}{2}(2a + (n - 1)\frac{22}{n}) = 33$. Rút gọn, ta được: $2a + 22 - 22/n = 66/n$. Suy ra $2a = 66/n - 22 - 22/n = 22(3/n - 1 - 1/n) = 22(2/n - 1)$. Suy ra $a = 11(2/n - 1)$. Vì $a$ là số chẵn nên $2/n - 1$ phải là số nguyên. Xét các giá trị có thể của $n$, ta thấy chỉ có $n = 2$ thỏa mãn. Thay $n = 2$ vào các phương trình trên, ta thấy thỏa mãn. Vậy có 1 cấp số cộng thỏa mãn điều kiện đề bài.