Cho tam giác ABC thỏa mãn sinA = 2 sinB.cosC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Đầu tiên, chúng ta cần nhớ lại các công thức lượng giác cơ bản: 1. sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB 2. sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB 3. cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB 4. cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB Sử dụng công thức sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB, ta có: sinA = sin(B + (A - B)) = sinBcos(A - B) + cosBsin(A - B) Theo giả thiết, sinA = 2sinBcosC, nên ta có: 2sinBcosC = sinBcos(A - B) + cosBsin(A - B) Chuyển vế, ta được: 2sinBcosC - sinBcos(A - B) = cosBsin(A - B) Rút gọn, ta được: sinB(2cosC - cos(A - B)) = cosBsin(A - B) Vì sinB khác 0 (vì B là góc trong tam giác), nên ta có thể chia cả hai vế cho sinB: 2cosC - cos(A - B) = cotBsin(A - B) Vì cotB = cosB/sinB, nên ta có: 2cosC - cos(A - B) = (cosB/sinB)sin(A - B) 2cosC - cos(A - B) = cosBcos(A - B)/sinB 2cosCsinB - sinBcos(A - B) = cosBcos(A - B) 2cosCsinB = cosBcos(A - B) + sinBcos(A - B) 2cosCsinB = cos(B - (A - B)) 2cosCsinB = cos(B + A - B) 2cosCsinB = cosA Theo giả thiết, sinA = 2sinBcosC, nên ta có: cosA = sinA/2sinB So sánh hai biểu thức của cosA, ta được: sinA/2sinB = sinA/2sinB Vậy, tam giác ABC cân tại A.