Cho tứ giác ABCD có góc BAC = góc BDC = 90 độ a) CM: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. b) CM: AD < BC

a) Để chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp. Theo giả thiết, góc BAC = góc BDC = 90 độ. Vì góc BAC và góc BDC là hai góc đối nhau trong tứ giác ABCD, nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp (vì tứ giác có hai góc đối bù nhau thì nội tiếp được trong một đường tròn). Tâm của đường tròn này là trung điểm của đoạn thẳng AD, bán kính là bằng nửa độ dài AD. b) Để chứng minh AD < BC, ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác. Theo bất đẳng thức tam giác, trong một tam giác, độ dài một cạnh bất kỳ luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại. Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABC, ta có: BC < AB + AC. Mà AC = AD (vì cùng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD), nên BC < AB + AD hay AD < BC.