Cho nửa đường tròn ( O;R ) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy M, P sao cho M thuộc cung AP, AM cắt BP tại N, MB cắt AP tại Q. Vẽ tiếp tuyến Ax của (O), MB cắt Ax tại E a) Chứng mình BM > BE không...

a) Chứng minh BM > BE không đổi khi M di động trên nửa đường tròn Ta có: $\angle BME = \angle BAE$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $\widehat{AB}$) Xét $\Delta BME$ và $\Delta BAE$ có: $\angle BME = \angle BAE$ (chứng minh trên) $\angle BEM = \angle BAE$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $\widehat{AM}$) Suy ra: $\Delta BME \sim \Delta BAE$ (g.g) Do đó: $\frac{BM}{BE} = \frac{BE}{BA}$ hay $BM.BA = BE^2$ Mà $BA = 2R$ không đổi nên $BM.BA = BE^2$ không đổi hay $BM.2R = BE^2$ không đổi. Vậy $BM > BE$ không đổi khi M di động trên nửa đường tròn. b) CMR: PO là tiếp tuyến của đường tròn đường kính NQ Ta có: $\angle PNO = \angle PNO$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $\widehat{PN}$) Xét $\Delta PNO$ và $\Delta QNO$ có: $\angle PNO = \angle QNO$ (chứng minh trên) $\angle ONP = \angle ONQ$ (góc chung) Suy ra: $\Delta PNO \sim \Delta QNO$ (g.g) Do đó: $\frac{PO}{QO} = \frac{PN}{QN}$ hay $PO.QN = QO.PN$ Mà $PO = QO$ (do $O$ là trung điểm của $PQ$) nên $PO.QN = QO.PN$ trở thành $PO.QN = PO.PN$ hay $PO(QN - PN) = 0$ Suy ra: $PO = 0$ hoặc $QN = PN$ Nếu $PO = 0$ thì $P$ trùng với $O$, điều này không thể xảy ra vì $P$ là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn. Nếu $QN = PN$ thì $QNO$ là tam giác cân tại $N$, suy ra $\angle QNO = \angle QON$ Mà $\angle QNO = \angle PNO$ (chứng minh trên) nên $\angle QON = \angle PNO$ Suy ra: $PO \perp ON$ hay $PO$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $NQ$. c) CMR: BQ.BM + AQ.AP = AB^2 Ta có: $\angle BQM = \angle BPM$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $\widehat{BM}$) Xét $\Delta BQM$ và $\Delta BPM$ có: $\angle BQM = \angle BPM$ (chứng minh trên) $\angle QBM = \angle PBM$ (góc chung) Suy ra: $\Delta BQM \sim \Delta BPM$ (g.g) Do đó: $\frac{BQ}{BP} = \frac{BM}{BM}$ hay $BQ.BM = BP.BM$ Tương tự, ta có: $\angle AQM = \angle APM$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $\widehat{AM}$) Xét $\Delta AQM$ và $\Delta APM$ có: $\angle AQM = \angle APM$ (chứng minh trên) $\angle QAM = \angle PAM$ (góc chung) Suy ra: $\Delta AQM \sim \Delta APM$ (g.g) Do đó: $\frac{AQ}{AP} = \frac{AM}{AM}$ hay $AQ.AM = AP.AM$ Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, ta được: $BQ.BM + AQ.AP = BP.BM + AP.AM$ Mà $BP = AB - AP$ và $AM = AB - BM$ nên thay vào ta được: $BQ.BM + AQ.AP = (AB - AP).BM + AP.(AB - BM)$ $BQ.BM + AQ.AP = AB.BM - AP.BM + AP.AB - AP.BM$ $BQ.BM + AQ.AP = AB.BM + AP.AB - 2AP.BM$ $BQ.BM + AQ.AP = AB(BM + AP) - 2AP.BM$ $BQ.BM + AQ.AP = AB^2 - 2AP.BM$ Mà $BM + AP = AB$ nên thay vào ta được: $BQ.BM + AQ.AP = AB^2 - 2AP.BM$ $BQ.BM + AQ.AP = AB^2$ Vậy $BQ.BM + AQ.AP = AB^2$.