Giúp mình với ạ

Câu 11. a) Với $m< 0$, ta có: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-m}}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+2}{\sqrt{x^2+|-m|}}= \pm1.$ Vậy, với $m< 0$, đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang $y=\pm1$. Mệnh đề này đúng. b) Với $m=0$, ta có: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+2}{\sqrt{x^2}}=1.$ $\lim_{x\to0^+}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-0}}=+\infty.$ $\lim_{x\to0^-}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-0}}=-\infty.$ Vậy, với $m=0$, đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang $y=\pm1$ và có một tiệm cận đứng $x=0$. Mệnh đề này đúng. c) Với $m=1$, ta có: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}= \pm1.$ $\lim_{x\to1^+}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}=+\infty.$ $\lim_{x\to1^-}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}=-\infty.$ Vậy, với $m=1$, đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang $y=\pm1$ và có một tiệm cận đứng $x=1$. Mệnh đề này đúng. d) Với $0< m\ne1$, ta có: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-m}}= \pm1.$ $\lim_{x\to\sqrt{m}^+}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-m}}=+\infty.$ $\lim_{x\to\sqrt{m}^-}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-m}}=-\infty.$ $\lim_{x\to-\sqrt{m}^+}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-m}}=+\infty.$ $\lim_{x\to-\sqrt{m}^-}\frac{x+2}{\sqrt{x^2-m}}=-\infty.$ Vậy, với $0< m\ne1$, đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang $y=\pm1$ và có hai tiệm cận đứng $x=\pm\sqrt m$. Mệnh đề này đúng. Vậy tất cả các mệnh đề a), b), c) và d) đều đúng. Câu 12. a) Đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x^2-8x+m}$ có 1 đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực tồn tại và hữu hạn. Điều này xảy ra khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số. Bậc của tử số là 1, bậc của mẫu số là 2. Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang. Mệnh đề a) Đúng. b) Khi $m< 16$, đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi mẫu số có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi biệt thức $\Delta = 64 - m > 0$, tức là $m < 64$. Vậy khi $m< 16$, đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Mệnh đề b) Đúng. c) Khi $m=16$, đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi mẫu số có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi biệt thức $\Delta = 64 - m = 0$, tức là $m = 64$. Vậy khi $m=16$, đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng. Mệnh đề c) Đúng. d) Có 14 giá trị nguyên dương của m để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Điều này xảy ra khi $16 < m < 64$. Có 48 số nguyên dương thuộc khoảng này. Tuy nhiên, chỉ có 14 số nguyên dương thuộc khoảng này. Mệnh đề d) Sai. Câu 13. a) Để xét tính đồng biến của hàm số, ta cần tính đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{4x+1}{3-x}$ là: $y' = \frac{(4x+1)'.(3-x) - (4x+1).(3-x)'}{(3-x)^2} = \frac{4.(3-x) - (4x+1)(-1)}{(3-x)^2} = \frac{12-4x+4x+1}{(3-x)^2} = \frac{13}{(3-x)^2}.$ Dấu của $y'$ luôn dương với mọi $x \neq 3$, do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Vậy mệnh đề a) là Đúng. b) Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cực. $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{4x+1}{3-x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4 + \frac{1}{x}}{-\left(1 - \frac{3}{x}\right)} = -4.$ Suy ra $y=-4$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy mệnh đề b) là Sai. c) Để tìm tích các khoảng cách từ một điểm M tùy ý trên (C) đến hai đường tiệm cận của nó, ta cần tính khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận. Khoảng cách từ M(x; y) đến tiệm cận đứng $x=3$ là $|x-3|$. Khoảng cách từ M(x; y) đến tiệm cận ngang $y=-4$ là $|y+4|$. Thay $y=\frac{4x+1}{3-x}$ vào ta được: $|y+4| = \left|\frac{4x+1}{3-x} + 4\right| = \left|\frac{4x+1+4(3-x)}{3-x}\right| = \left|\frac{13}{3-x}\right| = \frac{13}{|3-x|}.$ Tích các khoảng cách này là: $|x-3| \cdot \frac{13}{|3-x|} = 13.$ Vậy mệnh đề c) là Đúng. d) Để tìm hai điểm thuộc (C) sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến hai đường tiệm cận của (C) nhỏ nhất, ta cần tìm hai điểm M(x; y) trên (C) sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Tổng các khoảng cách này là: $|x-3| + \frac{13}{|3-x|}.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: $|x-3| + \frac{13}{|3-x|} \geq 2\sqrt{|x-3| \cdot \frac{13}{|3-x|}} = 2\sqrt{13}.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $|x-3| = \frac{13}{|3-x|}$, hay $|x-3|^2 = 13$, suy ra $x = 3 \pm \sqrt{13}$. Vậy hai điểm cần tìm là $M_1(3+\sqrt{13}; y_1)$ và $M_2(3-\sqrt{13}; y_2)$. Tổng các khoảng cách từ $M_1$ và $M_2$ đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất và bằng $2\sqrt{13}$. Vậy mệnh đề d) là Đúng. Câu 14. a) Để $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì điều kiện là $\lim_{x\to -1} y = \infty$. Thay $x=-1$ vào hàm số ta được $y = \frac{(m+1)(-1)^2 + (2m+1)(-1) + 2}{-1+1}$ = $\frac{m-1}{0}$, không xác định. Vậy $x=-1$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mệnh đề a) sai. b) Với $m=1$ thì hàm số trở thành $y = \frac{2x^2+2x+2}{x+1} = 2x + \frac{2}{x+1}$. Tiệm cận đứng là $x=-1$, tiệm cận ngang là $y=2$. Gọi $M(x_0; y_0)$ là một điểm bất kì trên (C), khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là $d_1 = |x_0 + 1|$, khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là $d_2 = |y_0 - 2| = |2x_0 + \frac{2}{x_0+1} - 2|$. Ta có $d_1.d_2 = |x_0 + 1|.|2x_0 + \frac{2}{x_0+1} - 2|$. Thay $y_0 = 2x_0 + \frac{2}{x_0+1}$ vào biểu thức trên, ta được $d_1.d_2 = |x_0 + 1|.|2x_0 + 2 - 2(x_0+1) + \frac{2}{x_0+1}| = |x_0 + 1|.|-\frac{2}{x_0+1}| = 2$. Vậy mệnh đề b) đúng. c) Giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) là $I(-1; 2)$. Thay vào phương trình $(P): y=-x^2$, ta được $2 = -(-1)^2 \Leftrightarrow 2 = -1$, vô lý. Vậy mệnh đề c) sai. d) Để (C) có tiệm cận xiên thì hàm số có dạng $y = ax + b + \frac{c}{x+1}$, trong đó $a$ là hệ số góc của tiệm cận xiên. Đồng nhất hệ số, ta được $a = 2$, $b = -1$, $c = 0$. Khi đó tiệm cận xiên là $y = 2x - 1$. Tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tròn $(\gamma): x^2 + y^2 = \frac{1}{4}$ khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiệm cận xiên bằng bán kính của đường tròn. Khoảng cách từ tâm $(0; 0)$ đến tiệm cận xiên $y = 2x - 1$ là $d = \frac{|b|}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Bán kính của đường tròn là $r = \frac{1}{2}$. Vậy để tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tròn thì $d = r \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 = \sqrt{5}$, vô lý. Vậy không có giá trị nào của $m$ để tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tròn $(\gamma)$. Mệnh đề d) sai. Câu 15. a) Đúng. Điểm nằm trên đồ thị $(C)$ có tọa độ $(x;y)$ thỏa mãn $y=\frac{3x-1}{x-2}$. Khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành là $y$ và khoảng cách đến trục tung là $x$. Điểm cách đều hai trục tọa độ là những điểm mà tọa độ của nó có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Từ $y=\frac{3x-1}{x-2}$, ta có $|y|=|x|$ hay $|\frac{3x-1}{x-2}| = |x|$. Giải phương trình này, ta tìm được hai điểm thỏa mãn là $(1;1)$ và $(3;-3)$. b) Sai. Tổng khoảng cách từ một điểm $(x;y)$ trên đồ thị $(C)$ đến hai trục tọa độ là $x+y$. Từ $y=\frac{3x-1}{x-2}$, ta có $x+y=x+\frac{3x-1}{x-2}=\frac{4x-1}{x-2}$. Đạo hàm của hàm số $f(x)=\frac{4x-1}{x-2}$ là $f'(x)=\frac{-3}{(x-2)^2}$. Hàm số này nghịch biến trên từng khoảng xác định, nên không tồn tại giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên tập xác định. Vậy không tồn tại điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. c) Sai. Giả sử $A(a;\frac{3a-1}{a-2})$ và $B(b;\frac{3b-1}{b-2})$ là hai điểm thuộc hai nhánh của $(C)$ sao cho $AB$ nhỏ nhất. Khi đó, tổng hoành độ của $A$ và $B$ là $a+b=4$. Tuy nhiên, chưa có cách giải quyết nào cho bài toán này. d) Đúng. Điểm $M(x;\frac{3x-1}{x-2})$ thuộc $(C)$ và cách đường thẳng $A:~3x-4y+1=0$ một khoảng bằng $\frac{12}{5}$. Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $A$ là $\frac{|3x-4\frac{3x-1}{x-2}+1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{12}{5}$. Giải phương trình này, ta tìm được bốn điểm thỏa mãn. Vậy, chỉ có mệnh đề a) và d) là đúng. Câu trả lời: a) Đúng d) Đúng Câu 6. a) $m=0$ đồ thị hàm số không có tiệm cận. Khi $m=0$, hàm số trở thành $y=\frac{x-1}{-1}$, đây là hàm số bậc nhất nên có tiệm cận. Vậy mệnh đề a) sai. b) $m=1$ đồ thị hàm số không có tiệm ngang. Khi $m=1$, hàm số trở thành $y=\frac{x-1}{x^3-1}$. Khi $x$ tiến tới vô cực, $y$ tiến tới vô cực nên không có tiệm cận ngang. Vậy mệnh đề b) sai. c) $m=1$ đồ thị hàm số không có tiệm đứng. Khi $m=1$, hàm số trở thành $y=\frac{x-1}{x^3-1}$. Hàm số này có một tiệm cận đứng là $x=1$. Vậy mệnh đề c) sai. d) $\left\{\begin{array}lm\ne0\\m\ne1\end{array}\right.$ đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Khi $m\ne0$ và $m\ne1$, hàm số $y=\frac{x-1}{mx^3-1}$ có hai tiệm cận đứng là $x=\sqrt[3]{\frac{1}{m}}$ và $x=-\sqrt[3]{\frac{1}{m}}$, và một tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{m}$. Vậy mệnh đề d) đúng. Câu 7. a) Khi $m=2$ thì hàm số trở thành $y=\frac{2x^2+x+2}{x-1}$. Để tìm tiệm cận xiên, ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cực: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+x+2}{x-1}-2x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+x+2-2x(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{-x+2}{x-1}=-1.$ Vậy tiệm cận xiên có phương trình $y=2x-1$, không phải là $y=2x+3$. Mệnh đề a) sai. b) Khi $m=1$ thì hàm số trở thành $y=\frac{x^2+2}{x-1}$. Tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cực: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+2}{x-1}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+2-x(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{-1}{x-1}=0.$ Vậy tiệm cận xiên có phương trình $y=x$, không đi qua điểm $A(1;4)$. Mệnh đề b) sai. c) Để tìm tiệm cận xiên, ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cực: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{mx^2+(3-m)x+m^2-2}{x-1}-mx\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{mx^2+(3-m)x+m^2-2-mx(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{-mx+m^2-2}{x-1}=-m.$ Vậy tiệm cận xiên có phương trình $y=mx-m$. Để tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6, ta có: $\frac{1}{2}.1.(-m).1=6\Rightarrow m=-12.$ Tuy nhiên, khi $m=-12$, ta có: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{-12x^2+15x+144}{x-1}+12x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{-12x^2+15x+144+12x(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{144}{x-1}=0.$ Vậy không có đường thẳng (d) nào tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6. Mệnh đề c) sai. d) Khi $m=\sqrt3$ thì hàm số trở thành $y=\frac{\sqrt3x^2+(3-\sqrt3)x+3-2}{x-1}$. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiệm cận xiên: $d=\frac{|-m|}{\sqrt{1+(-m)^2}}=\frac{|-m|}{\sqrt{1+m^2}}.$ Khi $m=\sqrt3$, ta có: $d=\frac{|-m|}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{-\sqrt3}{\sqrt{1+3}}=\frac{-\sqrt3}{2}.$ Tuy nhiên, khoảng cách không thể âm, nên ta có: $d=\frac{\sqrt3}{2}.$ Mệnh đề d) sai. Vậy các mệnh đề a), b), c), d) đều sai. Câu 8. a) Để đồ thị $(C_n)$ của hàm số có tiệm cận xiên thì $m\ne0$. Đây là mệnh đề đúng. b) Để tiệm cận xiên của $(C_n)$ đi qua $M(2;-5)$ thì $m=-8$. Đường tiệm cận xiên của $(C_n)$ có phương trình $y = x + m - 1$. Đường thẳng này đi qua $M(2;-5)$ nên ta có: $-5 = 2 + m - 1 \Rightarrow m = -8$. Vậy mệnh đề này đúng. c) "Để tiệm cận xiên của $(C_n)$ tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt) thì tổng tất cả các giá trị m tìm được bằng 2". Đường tiệm cận xiên của $(C_n)$ có phương trình $y = x + m - 1$. Giao điểm của đường tiệm cận xiên với trục hoành là $A(1-m; 0)$ và giao điểm với trục tung là $B(0; m - 1)$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên diện tích của nó là: $S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}|1-m||m-1|$. Theo giả thiết, $S = 8$ nên ta có: $\frac{1}{2}|1-m||m-1| = 8 \Rightarrow |1-m||m-1| = 16$. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của $m$ là $m = 5$ và $m = -3$. Tổng các giá trị tìm được là $5 + (-3) = 2$. Vậy mệnh đề này đúng. d) "Với $m=3$ thì giao điểm của hai đường tiệm cận của $(C_n)$ nằm trên Parabol $y=x^2+3$". Với $m = 3$, đường tiệm cận xiên của $(C_n)$ có phương trình $y = x + 3 - 1 = x + 2$. Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(1-3; 3-1) = I(-2; 2)$. Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình $y = x^2 + 3$, ta được: $2 = (-2)^2 + 3 = 7$. Điều này vô lý, nên điểm $I$ không thuộc Parabol $y = x^2 + 3$. Vậy mệnh đề này sai. Các mệnh đề a), b), c) đúng, mệnh đề d) sai. Câu 9. a) Đúng. Vì khi $x$ tiến tới $1$, giá trị của $y$ tiến tới vô cực. Vậy $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. b) Sai. Vì khi $x$ tiến tới vô cực, giá trị của $y$ tiến tới $1$. Vậy $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. c) Đúng. Vì hàm số đã cho là hàm số lẻ, nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Tọa độ tâm đối xứng là nghiệm của hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}\\ y = - \frac{{ - x + 3}}{{ - x - 1}} \end{array} \right.\] Giải hệ phương trình này, ta được $x=1$, $y=1$. Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(1;1)$. d) Sai. Vì chu vi tam giác tạo bởi tiếp tuyến và hai đường tiệm cận tại một điểm trên đồ thị hàm số không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó. Chu vi này luôn bằng $2 + 2\sqrt{2}$. Vậy $a=2$, $b=2$, $c=2$, và $a+b+c=6$. Câu 10. a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$,tiệm cận ngang $y=1.$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-3m$ và tiệm cận ngang $y=m$. Do đó, mệnh đề này sai. b) Hàm số có hai cực trị. Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt. Tính đạo hàm của hàm số, ta được: $y' = \frac{m(2x + 3m^2 - 2) - (mx^2 + (3m^2 - 2)x - 2)}{(x + 3m)^2}.$ Phương trình $y'=0$ trở thành: $m(2x + 3m^2 - 2) - (mx^2 + (3m^2 - 2)x - 2) = 0.$ $\Leftrightarrow mx^2 + (3m^2 - 2)x - 2m = 0.$ Phương trình này có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta = (3m^2 - 2)^2 + 8m > 0$. Điều này luôn đúng với mọi $m \in \mathbb{R}$. Vậy mệnh đề này đúng. c) Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-3m$ và tiệm cận ngang $y=m$. Vậy mệnh đề này sai. d) Hàm số nghịch biến trong khoảng $(-\infty;0)$ và $(0;+\infty)$. Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi $y' < 0$. Từ câu b) ta đã chứng minh được phương trình $y'=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là $x_1$ và $x_2$ ($x_1 < x_2$). Khi đó, hàm số nghịch biến trong các khoảng $(-\infty;x_1)$, $(x_1;x_2)$ và $(x_2;+\infty)$. Vậy mệnh đề này sai. Vậy các mệnh đề a), c) và d) là sai, mệnh đề b) là đúng. Câu 2. a) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang. Đây là mệnh đề đúng. Khi $x$ tiến tới vô cực, giá trị của hàm số $f(x)$ tiến tới 0. Vậy đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. b) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=-3$ là tiệm cận đứng. Đây là mệnh đề đúng. Khi $x$ tiến tới -3, giá trị của hàm số $f(x)$ tiến tới vô cực. Vậy đường thẳng $x=-3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. c) Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 4. Đây là mệnh đề sai. Đồ thị hàm số chỉ có hai tiệm cận, đó là tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận ngang $y=0$. d) Hàm số đồng biến trong khoáng $(-\infty;+\infty)$. Đây là mệnh đề sai. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trong khoảng $(-\infty;-3)$ và đồng biến trong khoảng $(-3;+\infty)$. Vậy các mệnh đề a), b) là đúng, các mệnh đề c), d) là sai. Câu 3. d Câu 4. a) Đồ thị (C) của hàm số không có tiệm cận. Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số, ta cần tìm các giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cực và khi x tiến tới các điểm làm cho mẫu số bằng 0. Nhưng với hàm số $y=\frac{5\sqrt{x^2+6}+x-12}{4x^3-3x-1}$, khi $x$ tiến tới vô cực, giới hạn của hàm số bằng 0. Khi $x$ tiến tới các điểm làm cho mẫu số bằng 0, hàm số cũng không xác định. Vậy đồ thị (C) của hàm số không có tiệm cận. Vậy mệnh đề a) là Đúng. b) Đồ thị (C) của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang $y=0$. Như đã phân tích ở trên, khi $x$ tiến tới vô cực, giới hạn của hàm số bằng 0. Vậy đồ thị (C) của hàm số có một tiệm cận ngang $y=0$. Vậy mệnh đề b) là Đúng. c) Đồ thị (C) của hàm số có một tiệm cận ngang $y=0$ và hai tiệm cận đứng $x=1;x=-\frac12$. Như đã phân tích ở trên, khi $x$ tiến tới vô cực, giới hạn của hàm số bằng 0. Vậy đồ thị (C) của hàm số có một tiệm cận ngang $y=0$. Ngoài ra, hàm số không xác định khi $4x^3-3x-1=0$. Phương trình này có ba nghiệm phân biệt, nhưng chỉ có hai nghiệm thực $x=1$ và $x=-\frac12$. Vậy đồ thị (C) của hàm số có hai tiệm cận đứng $x=1$ và $x=-\frac12$. Vậy mệnh đề c) là Đúng. d) Đồ thị (C) của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang $y=0$ và một tiện cận đứng $x=1$. Như đã phân tích ở trên, khi $x$ tiến tới vô cực, giới hạn của hàm số bằng 0. Vậy đồ thị (C) của hàm số có một tiệm cận ngang $y=0$. Ngoài ra, hàm số không xác định khi $4x^3-3x-1=0$. Phương trình này có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm thực $x=1$ và $x=-\frac12$. Vậy đồ thị (C) của hàm số có hai tiệm cận đứng. Vậy mệnh đề d) là Sai. Câu 5. a) Đúng. Hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}$ có tiệm cận đứng là $x=-2$ vì $x=-2$ là nghiệm của mẫu số. Để tìm tiệm cận xiên, ta tính giới hạn: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-2x+2}{x+2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2(1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2})}{x(1+\frac{2}{x})}=x-4.$ Vậy hàm số có tiệm cận xiên là $y=x-4$. b) Đúng. Giao điểm của hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình: $\begin{cases} x=-2 \\ y=x-4 \end{cases}.$ Thay $x=-2$ vào phương trình $y=x-4$, ta được $y=-2-4=-6$. Vậy giao điểm của hai tiệm cận là $I(-2;-6)$. c) Sai. Khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng $y=x-4$. Đường thẳng này có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;1)$. Vậy khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên là: $d=\frac{|1.0+1.0-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$ d) Sai. Tiệm cận xiên của hàm số là $y=x-4$, không đi qua điểm $M(0;-4)$. Vậy các mệnh đề a), b) là đúng, các mệnh đề c), d) là sai.