Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Vẽ tia phân giác AD của góc BAC (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. a) CM: BD = DE. b) Đường thẳng DE và AB cắt nhau tại F. CM: tam giác DBF = DEC....

a)

Xét tam giác BAD và tam giác EAD có
$A B=A E(g t)$
$\widehat{B A D}=\widehat{E A D}(A D$ là $p g)$
$A D$ chung
Suy ra tam giác BAD $=$ tam giác EAD (c.g.c)
$\Rightarrow B D=D E$ (2 cạnh tương ứng)
b)

Ta có $\widehat{A B D}+\widehat{D B F}=180^{\circ}$ (2 góc kề bù)
Lại có $\widehat{A E D}+\widehat{D E C}=180^{\circ}$ (2 góc kề bù)
mà $\widehat{A B D}=\widehat{A E D}$ (do tam giác BAD = tam giác EAD)

$
\Rightarrow \widehat{D B F}=\widehat{D E C}
$

Xét tam giác DBF và tam giác DEC có

$
\begin{aligned}
& \widehat{D B F}=\widehat{D E C}(\mathrm{cmt}) \\
& B D=D E(\mathrm{cmt}) \\
& \widehat{B D F}=\widehat{E D C}(2 \text { góc đối })
\end{aligned}
$

Suy ra tam giác $D B F=$ tam giác $D E C$ (g.c.g)

$
\begin{aligned}
& \text { c) } \\
& \text { Vi } C K / / A F(g t) \\
& \Rightarrow \widehat{K C F}=\widehat{C F A} \text { (so le trong) } \\
& \Rightarrow \widehat{C K A}=\widehat{K A F} \text { (so le trong) } \\
& \text { mà } \widehat{K A F}=\widehat{K A C} \text { (do AD là phân giác) } \\
& \Rightarrow \widehat{C K A}=\widehat{K A C} \\
& \Rightarrow \text { Tam giác } C A K \text { cân tại C } \\
& \Rightarrow A C=C K(1) \\
& \text { Ta có } A B+B F=A F \\
& A E+E C=A C \\
& \text { mà } A B=A E(g t) \\
& B F=E C(\text { do tam giác } D B F=\text { tam giác } D E C) \\
& \Rightarrow A F=A C(2) \\
& \text { Từ }(1) \text { và }(2) \\
& \Rightarrow C K=A F
\end{aligned}
$

Xét tam giác AIF và tam giác KIC có

$
\begin{aligned}
& \widehat{K C F}=\widehat{C F A}(\mathrm{cmt}) \\
& C K=A F(\mathrm{cmt}) \\
& \widehat{C K A}=\widehat{K A F}(\mathrm{cmt}) \\
& \text { Suy ra tam giác AlF }=\text { tam giác } \mathrm{KIC} \text { (g.c.g) } \\
& \Rightarrow A I=I K(2 \text { cảnh tương ứng) } \\
& \Rightarrow I \text { là trung điểm AK }
\end{aligned}
$