Giúp mình với! 7. Cho góc nhọn x. Biết rằng, tam giác ABC vuông tại A có $B=\alpha.$,a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn a theo AB, BC, CA.,b) Chứng minh: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1; an\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha};\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}; an\alpha.\cot\alpha=1.$,Từ đó, tính giá trị biểu thức: $S=\sin^235^0+\cos^235^0;T= an61^0.\cot61^0.$,

Question

Giúp mình với! 7. Cho góc nhọn x. Biết rằng, tam giác ABC vuông tại A có $B=\alpha.$,a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn a theo AB, BC, CA.,b) Chứng minh: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1;	an\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha};\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha};	an\alpha.\cot\alpha=1.$,Từ đó, tính giá trị biểu thức: $S=\sin^235^0+\cos^235^0;T=	an61^0.\cot61^0.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/55ed5cf8047a4a79ad4a456b5e7e0144.jpg />

yennguyen517 · Accepted Answer

a, Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông tại A có:
$\displaystyle sin\alpha =sinB=\frac{AC}{BC} ,\ cos\alpha =cosB=\frac{AB}{BC}$
$\displaystyle tan\alpha =tanB=\frac{AC}{AB} ,\ cot\alpha =cotB=\frac{AB}{AC}$
b, Ta có:
$\displaystyle sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =\left(\frac{AC}{BC}\right)^{2} +\left(\frac{AB}{BC}\right)^{2} =\frac{AB^{2} +AC^{2}}{BC^{2}} =1$
$\displaystyle \frac{sin\alpha }{cos\alpha } =\frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}} =\frac{AC}{AB} =tan\alpha $
$\displaystyle \frac{cos\alpha }{tan\alpha } =\frac{\frac{AB}{BC}}{\frac{AC}{BC}} =\frac{AB}{AC} =cot\alpha $
$\displaystyle tan\alpha .cot\alpha =\frac{AC}{AB} .\frac{AB}{AC} =1$
$\displaystyle S=sin^{2} 35^{0} +cos^{2} 35^{0} =1$
$\displaystyle T=tan61^{0} .cot61^{0} =1$

Timi · Answer

a) Trong tam giác vuông ABC, ta có:
- $\sin\alpha=\frac{CA}{BC}$
- $\cos\alpha=\frac{AB}{BC}$
- $	an\alpha=\frac{CA}{AB}$
- $\cot\alpha=\frac{AB}{CA}$

b) Chứng minh các đẳng thức:
- $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:
Theo định lý Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có: $CA^2+AB^2=BC^2$. Chia cả hai vế cho $BC^2$, ta được: $\left(\frac{CA}{BC}ight)^2+\left(\frac{AB}{BC}ight)^2=1$, hay $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
- $	an\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:
Theo định nghĩa, $	an\alpha=\frac{CA}{AB}$, và theo các tỉ số lượng giác, $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{CA/BC}{AB/BC}=\frac{CA}{AB}=	an\alpha$.
- $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:
Tương tự, theo định nghĩa, $\cot\alpha=\frac{AB}{CA}$, và theo các tỉ số lượng giác, $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{AB/BC}{CA/BC}=\frac{AB}{CA}=\cot\alpha$.
- $	an\alpha.\cot\alpha=1$:
Từ các đẳng thức trên, ta có: $	an\alpha.\cot\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=1$.

Tính giá trị biểu thức:
- $S=\sin^235^0+\cos^235^0$:
Theo đẳng thức $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, ta có: $S=1$.
- $T=	an61^0.\cot61^0$:
Theo đẳng thức $	an\alpha.\cot\alpha=1$, ta có: $T=1$.