lấy 4 điểm bất kỳ trên bề mặt hình cầu tứ diện tạo bởi 4 điểm trên xác suất để tâm hình cầu nằm trong tứ diện này là bao nhiêuGiúp mình với!

Question

yennq · Accepted Answer

Bước 1: Chọn 3 điểm đầu tiên

Khi chọn ba điểm bất kỳ trên mặt cầu, chúng luôn tạo thành một tam giác (nếu không thẳng hàng) và tam giác này chia mặt cầu thành hai nửa không gian đối xứng qua mặt phẳng chứa tam giác đó.

Bước 2: Xác định vị trí điểm thứ tư

Điểm thứ tư có thể nằm ở bất kỳ vị trí nào trên mặt cầu. Tuy nhiên, để tứ diện chứa tâm của hình cầu, điểm thứ tư không được nằm cùng một phía với ba điểm đầu tiên. Do đó, điểm thứ tư phải nằm ở phía đối diện của mặt phẳng chứa tam giác đã chọn.

Xác suất:

Vì mặt cầu chia thành hai nửa đối xứng nhau, xác suất để điểm thứ tư nằm ở phía đối diện với ba điểm đầu tiên là $\displaystyle \frac{1}{2}$

Tổng kết:

Vậy xác suất để một tứ diện ngẫu nhiên được tạo thành từ 4 điểm bất kỳ trên mặt cầu chứa tâm của hình cầu là $\displaystyle \frac{1}{8}$

Timi · Answer

Bề mặt hình cầu được tạo bởi tất cả các điểm cách tâm một khoảng bằng bán kính. Khi lấy 4 điểm bất kỳ trên bề mặt hình cầu, tứ diện tạo bởi 4 điểm này có thể nằm trong hình cầu hoặc nằm ngoài hình cầu. Tỉ lệ diện tích của tứ diện nằm trong hình cầu so với tổng diện tích bề mặt hình cầu là xác suất cần tìm.

Xét một tứ diện đều có cạnh bằng $r$ (bằng bán kính hình cầu), thể tích của nó là $\frac{r^3\sqrt{2}}{12}$. Thể tích của hình cầu là $\frac{4}{3}\pi r^3$.

Tỉ lệ thể tích của tứ diện so với thể tích hình cầu là $\frac{\frac{r^3\sqrt{2}}{12}}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{\sqrt{2}}{16\pi}$.

Tỉ lệ diện tích của tứ diện so với diện tích bề mặt hình cầu là $\frac{4\cdot \frac{\sqrt{2}}{16\pi}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{16\pi}$.

Tuy nhiên, tỉ lệ này không phải là xác suất cần tìm vì nó không nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Thực tế, xác suất cần tìm là tỉ lệ diện tích của tứ diện nằm trong hình cầu so với tổng diện tích bề mặt hình cầu. Vì tứ diện đều nói trên là một trong số vô số các tứ diện có thể được tạo ra từ 4 điểm trên bề mặt hình cầu, nên tỉ lệ diện tích của tứ diện nằm trong hình cầu so với tổng diện tích bề mặt hình cầu chính là xác suất cần tìm.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{\sqrt{2}}{16\pi}$. Tuy nhiên, đây không phải là một xác suất hợp lệ vì nó không nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Để tìm xác suất hợp lệ, ta cần tính tỉ lệ thể tích của tứ diện nằm trong hình cầu so với thể tích hình cầu, sau đó chia kết quả cho 4 (vì có 4 tứ diện tương ứng với một tứ diện đều).

Tỉ lệ thể tích của tứ diện nằm trong hình cầu so với thể tích hình cầu là $\frac{\frac{r^3\sqrt{2}}{12}}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{\sqrt{2}}{16\pi}$.

Tỉ lệ thể tích của một tứ diện nằm trong hình cầu so với thể tích hình cầu là $\frac{\sqrt{2}}{16\pi} \div 4 = \frac{\sqrt{2}}{64\pi}$.

Tỉ lệ diện tích của một tứ diện nằm trong hình cầu so với diện tích bề mặt hình cầu là $\frac{\sqrt{2}}{64\pi}$.

Vì tỉ lệ này nằm trong khoảng từ 0 đến 1, nên nó có thể được coi là xác suất cần tìm.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{1}{3}$.