Giúp mình với!

Bài 4. a) Để rút gọn biểu thức $A=\sqrt{9a^6}+\sqrt{4a^4}$, chúng ta cần phân tích các căn thức thành căn bậc hai của các biểu thức có thể rút gọn được. Ta có: $A=\sqrt{9a^6}+\sqrt{4a^4}=\sqrt{(3a^3)^2}+\sqrt{(2a^2)^2}=3a^3+2a^2.$ b) Để rút gọn biểu thức $B=\sqrt{9a^2}-2a$, chúng ta cần phân tích căn thức thành căn bậc hai của một bình phương. Ta có: $B=\sqrt{9a^2}-2a=\sqrt{(3a)^2}-2a=3a-2a=a.$ c) Để rút gọn biểu thức $C=\frac{\sqrt{1-2a+a^2}}{a-1}$, chúng ta cần biến đổi biểu thức dưới căn thành một bình phương. Ta có: $1-2a+a^2=(1-a)^2.$ Do đó: $C=\frac{\sqrt{1-2a+a^2}}{a-1}=\frac{\sqrt{(1-a)^2}}{a-1}=\frac{1-a}{a-1}=-1.$ Bài 5. a) Căn thức $\sqrt{2x+5}$ xác định khi và chỉ khi $2x+5 \geq 0$. Giải bất phương trình này, ta được: \[2x+5 \geq 0 \Rightarrow 2x \geq -5 \Rightarrow x \geq -\frac{5}{2}.\] Vậy căn thức $\sqrt{2x+5}$ xác định khi $x \geq -\frac{5}{2}$. b) Căn thức $\sqrt{12-3x}$ xác định khi và chỉ khi $12-3x \geq 0$. Giải bất phương trình này, ta được: \[12-3x \geq 0 \Rightarrow -3x \geq -12 \Rightarrow x \leq 4.\] Vậy căn thức $\sqrt{12-3x}$ xác định khi $x \leq 4$. c) Căn thức $\sqrt{\frac{1}{x-9}}$ xác định khi và chỉ khi $\frac{1}{x-9} \geq 0$. Giải bất phương trình này, ta được: \[\frac{1}{x-9} \geq 0 \Rightarrow x-9 > 0 \Rightarrow x > 9.\] Vậy căn thức $\sqrt{\frac{1}{x-9}}$ xác định khi $x > 9$. d) Căn thức $\sqrt{x^2+2024}$ luôn xác định vì $x^2+2024 > 0$ với mọi $x$. Bài 6. a) Để so sánh 12 và $\sqrt{121}$, ta cần tính $\sqrt{121}$. Ta có $\sqrt{121}=11$. Vì $12>11$, nên $12>\sqrt{121}$. b) Để so sánh $1+\sqrt{50}$ và 8, ta cần tính $1+\sqrt{50}$. Ta có $1+\sqrt{50}=1+ \sqrt{25 \cdot 2}=1+5\sqrt{2}$. Ta cần tính $1+5\sqrt{2}$. Ta có $5\sqrt{2} \approx 5 \cdot 1.4142=7.071$. Vậy $1+5\sqrt{2} \approx 1+7.071=8.071$. Vì $8.071>8$, nên $1+\sqrt{50}>8$. c) Để so sánh $\sqrt{33}-\sqrt{17}$ và $6-\sqrt{15}$, ta cần tính $\sqrt{33}-\sqrt{17}$ và $6-\sqrt{15}$. Ta có $\sqrt{33}-\sqrt{17} \approx \sqrt{9 \cdot 3}-\sqrt{9 \cdot 2}=3\sqrt{3}-3\sqrt{2}$. Ta có $3\sqrt{3} \approx 3 \cdot 1.732=5.196$ và $3\sqrt{2} \approx 3 \cdot 1.4142=4.2426$. Vậy $3\sqrt{3}-3\sqrt{2} \approx 5.196-4.2426=0.9534$. Ta có $6-\sqrt{15} \approx 6-3.872=2.128$. Vì $0.9534< 2.128$, nên $\sqrt{33}-\sqrt{17}< 6-\sqrt{15}$. d) Để so sánh $\sqrt{10}+\sqrt{17}+1$ và $\sqrt{61}$, ta cần tính $\sqrt{10}+\sqrt{17}+1$ và $\sqrt{61}$. Ta có $\sqrt{10}+\sqrt{17}+1 \approx 3.162+4.123+1=8.285$. Ta có $\sqrt{61} \approx 7.810$. Vì $8.285>7.810$, nên $\sqrt{10}+\sqrt{17}+1>\sqrt{61}$. Bài 7. a) $5.(\sqrt{\frac1{25}}-x)-\sqrt{\frac1{81}}=-\frac19$ Đầu tiên, tính các căn bậc hai: $\sqrt{\frac1{25}}=\frac15$ và $\sqrt{\frac1{81}}=\frac19$. Thay vào phương trình, ta được: $5.(\frac15-x)-\frac19=-\frac19$. Rút gọn biểu thức trong ngoặc: $1-5x-\frac19=-\frac19$. Chuyển vế, ta được: $1-5x=-\frac19+\frac19$. $1-5x=0$. Chuyển vế, ta được: $-5x=-1$. Chia cả hai vế cho -5, ta được: $x=\frac15$. Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac15$. b) $225-16x^2=0$. Chuyển vế, ta được: $16x^2=225$. Chia cả hai vế cho 16, ta được: $x^2=\frac{225}{16}$. Lấy căn bậc hai cả hai vế, ta được: $x=\pm\frac{15}{4}$. Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{15}{4}$ và $x=-\frac{15}{4}$. c) $2\sqrt{x+1}=12$. Chia cả hai vế cho 2, ta được: $\sqrt{x+1}=6$. Bình phương cả hai vế, ta được: $x+1=36$. Chuyển vế, ta được: $x=35$. Vậy nghiệm của phương trình là $x=35$. d) $\sqrt{4x^2-4x+1}=2$. Bình phương cả hai vế, ta được: $4x^2-4x+1=4$. Chuyển vế, ta được: $4x^2-4x+1-4=0$. $4x^2-4x-3=0$. Chia cả hai vế cho 4, ta được: $x^2-x-\frac34=0$. Phương trình này không thể giải bằng cách phân tích nhân tử hoặc bằng công thức nghiệm. Tuy nhiên, ta có thể nhẩm nghiệm bằng cách sử dụng máy tính hoặc sử dụng công thức nghiệm bổ sung. Công thức nghiệm bổ sung cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ là: $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Áp dụng công thức này cho phương trình $x^2-x-\frac34=0$, ta được: $x=\frac{1\pm\sqrt{1+3}}{2}$. $x=\frac{1\pm\sqrt{\frac{7}{4}}}{2}$. $x=\frac{1\pm\frac{\sqrt7}{2}}{2}$. $x=\frac12\pm\frac{\sqrt7}{4}$. Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac12+\frac{\sqrt7}{4}$ và $x=\frac12-\frac{\sqrt7}{4}$. Tóm lại, các nghiệm của các phương trình là: a) $x=\frac15$. b) $x=\frac{15}{4}$ hoặc $x=-\frac{15}{4}$. c) $x=35$. d) $x=\frac12+\frac{\sqrt7}{4}$ hoặc $x=\frac12-\frac{\sqrt7}{4}$. Bài 8. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\sqrt{x-1}+6;B=\sqrt{x^2-4x+7}$ Đối với biểu thức $A=\sqrt{x-1}+6$, điều kiện xác định là $x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$. Giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x-1}$ là 0 khi $x=1$, do đó giá trị nhỏ nhất của $A$ là $0+6=6$. Đối với biểu thức $B=\sqrt{x^2-4x+7}$, điều kiện xác định là $x^2-4x+7 \geq 0$. Biểu thức $x^2-4x+7$ luôn dương với mọi $x$ (vì nó là một tam thức bậc hai có biệt thức $\Delta = (-4)^2 - 4*1*7 = 16 - 28 = -12 < 0$ và hệ số $a = 1 > 0$), do đó $B$ luôn xác định và có nghĩa với mọi $x$. Giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x^2-4x+7}$ là 0 khi $x^2-4x+7 = 0$. Giải phương trình $x^2-4x+7 = 0$ bằng công thức nghiệm, ta có: $x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4*1*7}}{2*1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-12}}{2}$ Vì $\sqrt{-12}$ là số ảo, nên phương trình $x^2-4x+7 = 0$ vô nghiệm. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $B$ là $\sqrt{0} = 0$. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $C=5-\sqrt{3x-2};D=1+\sqrt{2x-x^2+1}$ Đối với biểu thức $C=5-\sqrt{3x-2}$, điều kiện xác định là $3x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$. Giá trị lớn nhất của $\sqrt{3x-2}$ là 0 khi $x = \frac{2}{3}$, do đó giá trị lớn nhất của $C$ là $5-0=5$. Đối với biểu thức $D=1+\sqrt{2x-x^2+1}$, điều kiện xác định là $2x-x^2+1 \geq 0$. Biểu thức $2x-x^2+1$ có thể viết lại thành $-(x^2-2x+1)+2 = -(x-1)^2+2$. Vì $(x-1)^2 \geq 0$ nên $-(x-1)^2 \leq 0$, do đó $-(x-1)^2+2 \leq 2$. Vậy $2x-x^2+1 \geq 0$ với mọi $x$, do đó $D$ luôn xác định và có nghĩa với mọi $x$. Giá trị lớn nhất của $\sqrt{2x-x^2+1}$ là $\sqrt{2}$ khi $2x-x^2+1 = 1 \Rightarrow x^2-2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Vì $x \geq 1$ nên chỉ có $x = 2$ thỏa mãn, do đó giá trị lớn nhất của $D$ là $1+\sqrt{1} = 2$.