2^a -1 là số nguyên tố suy ra a là số nguyên tố. Chứng minh điều đó

Question

ynguyen76 · Accepted Answer

Giả sử n là hợp số⇒$\displaystyle a=p.q$(p,q∈N;p,q>1)
Khi đó:$\displaystyle 2^{a} -1=2^{pq} -1=\left( 2^{p}\right)^{q} -1=\left( 2^{p} -1\right)\left( 2^{p}\right)^{q} -1+\left( 2^{p}\right)^{q} -2+..+1)$
Vì p>1⇒$\displaystyle 2^{p} -1 >1$ và $\displaystyle \left( 2^{p}\right)^{q} -1=\left( 2^{p}\right)^{q} -2+...+1 >1$
Dẫn đến $\displaystyle 2^{a} -1$là hợp số:trái với giả thiết $\displaystyle 2^{a} -1$ là số nguyên tố
Vậy a là số nguyên tố(dpcm)

Timi · Answer

Để chứng minh rằng nếu $2^a - 1$ là số nguyên tố thì $a$ phải là số nguyên tố, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử $a$ không phải là số nguyên tố, tức là $a$ có thể phân tích thành tích của hai số nguyên dương nhỏ hơn, tức là $a = b \cdot c$ với $b, c > 1$.

Khi đó, ta có $2^a - 1 = 2^{b \cdot c} - 1 = (2^c)^b - 1$.

Áp dụng hằng đẳng thức $x^n - y^n = (x - y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1})$ với $x = 2^c$ và $y = 1$, ta có:

$2^a - 1 = (2^c - 1)((2^c)^{b-1} + (2^c)^{b-2} + \cdots + 2^c + 1)$.

Vì $2^c - 1 > 1$ (vì $c > 1$), nên $2^a - 1$ không thể là số nguyên tố. Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng $2^a - 1$ là số nguyên tố.

Vậy, nếu $2^a - 1$ là số nguyên tố thì $a$ phải là số nguyên tố.

Lương Vũ · Answer

{"userId":5112283,"userName":"Hoàng Minh Trí"}

Giả sử: a không phải là số nguyên tố. Điều này có nghĩa là a có thể viết dưới dạng tích của hai số nguyên dương lớn hơn 1, tức là a = b * c (với b, c > 1).

Thế vào biểu thức 2^a - 1:

Ta có: 2^a - 1 = 2^(b*c) - 1
Áp dụng hằng đẳng thức: a^n - b^n = (a-b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + b^(n-1))
Áp dụng hằng đẳng thức trên, ta được: 2^(b*c) - 1 = (2^b)^c - 1^c = (2^b - 1)([2^b]^(c-1) + [2^b]^(c-2) + ... + 1)

Phân tích kết quả:

Ta thấy 2^b - 1 > 1 (vì b > 1) và ([2^b]^(c-1) + [2^b]^(c-2) + ... + 1) > 1 (vì c > 1).
Điều này có nghĩa là 2^a - 1 có thể phân tích thành tích của hai số nguyên dương lớn hơn 1.

Kết luận:

Vậy, nếu giả sử a không phải là số nguyên tố, ta suy ra được 2^a - 1 cũng không phải là số nguyên tố. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.
Do đó, giả thiết ban đầu là sai.
Kết luận: Nếu 2^a - 1 là số nguyên tố thì a phải là số nguyên tố.