helppppppppmeeeeeeeee Bài 19. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát,không lưu sân bay Cam Ranh - Khánh Hòa ở vị trí O (0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện,máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines đang,chuyển động theo đường thẳng d có phương trình $\left\{\begin{array}lx=-1000+100t\y=-200+80t~(t\in\mathbb R)\z=10\end{array} ight.$ và hướng về đài,kiểm soát không lưu (như hình vẽ).,a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh,giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm,,soát không lưu trong không gian.,b) Xác định quãng đường mà máy bay nhận,được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu.,c) Tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay,với đài kiểm soát không lưu.

Question

helppppppppmeeeeeeeee Bài 19. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát,không lưu sân bay Cam Ranh - Khánh Hòa ở vị trí O (0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện,máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines đang,chuyển động theo đường thẳng d có phương trình $\left\{\begin{array}lx=-1000+100t\y=-200+80t~(t\in\mathbb R)\z=10\end{array}ight.$ và hướng về đài,kiểm soát không lưu (như hình vẽ).,a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh,giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/cd92add54cf34c9b913597fc2f4f18b0.jpg />,soát không lưu trong không gian.,b) Xác định quãng đường mà máy bay nhận,được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu.,c) Tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay,với đài kiểm soát không lưu.

dungpham438 · Accepted Answer

a.
Phương trình mặt cầu tâm O(0;0;0) bán kính R = 600
$\displaystyle x^{2} +y^{2} +z^{2} =600^{2}$
b.
Máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa khi và chỉ khi nó nằm trên mặt cầu. Thay tọa độ điểm $\displaystyle M( -1000+100t;-200+80t;10)$ vào phương trình mặt cầu ta được:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
( -1000+100t)^{2} +( -200+80t)^{2} +10^{2} =600^{2}\
\Rightarrow 100^{2} t^{2} +80^{2} t^{2} -( 200000+32000) t+1000^{2} +200^{2} +10^{2} -600^{2} =0\
\Rightarrow 16400t^{2} -232000t+680100=0\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l}
t\approx 10 & \
t\approx 4,15 &
\end{array} ight.
\end{array}$
Vậy tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là:
$\displaystyle M_{1}( -585;132;10)$
và tọa độ vị trí mà máy bay bay ra khỏi màn hình ra đa là:
$\displaystyle M_{2}( 0;600;10)$
c.
Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay với đài kiểm soát không lưu chính là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d
Ta có: $\displaystyle \overrightarrow{OM_{1}} =( -585;132;10)$ và VTCP của (d): $\displaystyle \vec{u} =( 100;80;0)$
$\displaystyle \left[\overrightarrow{OM_{1}} ;\vec{u} ight] =( -800;1000;-60000)$
Khoảng cách từ O đến (d):
$\displaystyle d( O;d) =\frac{|\left[\overrightarrow{OM_{1}} .\vec{u} ight] |}{|\vec{u} |} \approx 468,63( m)$

Timi · Answer

Bài 19.
a) Đài kiểm soát không lưu nằm tại gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có thể phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Vậy ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian sẽ được mô tả bởi mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 600 km. Phương trình mặt cầu này là:
$$x^2 + y^2 + z^2 = 600^2.$$

b) Đường thẳng d có phương trình tham số:
$$\left\{\begin{array}lx=-1000+100t\y=-200+80t\z=10\end{array}\right..$$
Máy bay sẽ nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu khi nó ở trong vùng phát sóng, tức là khi nó nằm trên mặt cầu. Tọa độ của máy bay là:
$$x = -1000 + 100t, \quad y = -200 + 80t, \quad z = 10.$$
Thay vào phương trình mặt cầu, ta được:
$$(-1000 + 100t)^2 + (-200 + 80t)^2 + 10^2 = 600^2.$$
Giải phương trình này, ta tìm được các giá trị của t tương ứng với các thời điểm máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu.

c) Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay với đài kiểm soát không lưu chính là khoảng cách từ điểm O(0; 0; 0) đến đường thẳng d. Để tính khoảng cách này, ta có thể sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian. Tuy nhiên, vì đường thẳng d song song với mặt phẳng tọa độ Oxy nên khoảng cách từ O đến d chính bằng giá trị tuyệt đối của hằng số tự do trong phương trình tham số của d chia cho độ dài vectơ chỉ phương của d.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u} = (100, 80, 0)$. Độ dài của vectơ này là $|\vec{u}| = \sqrt{100^2 + 80^2 + 0^2} = 180$. Hằng số tự do trong phương trình tham số của d là 10. Vậy khoảng cách từ O đến d là:
$$d = \frac{|10|}{180} = \frac{10}{180} = \frac{1}{18} \approx 0.0556 \text{ km}.$$

quynh_yeu_anh · Answer

a) Đài kiểm soát không lưu nằm tại gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có thể phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Vậy ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian sẽ được mô tả bởi mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 600 km. Phương trình mặt cầu này là:
$$x^2 + y^2 + z^2 = 600^2.$$