Toán mọi người

Câu 7: Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận thì hàm số phải có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên. 1. Tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = a$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: - $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$ - $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ Đối với hàm số $y=\frac{x+1}{x^2-2mx+4}$, đường thẳng $x = a$ là tiệm cận đứng khi và chỉ khi $x^2 - 2mx + 4 = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm nhưng không xác định tại $x = a$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\Delta = (2m)^2 - 4.1.4 = 4m^2 - 16 < 0 \Leftrightarrow m^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < m < 2$. 2. Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = b$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ Đối với hàm số $y=\frac{x+1}{x^2-2mx+4}$, đường thẳng $y = b$ là tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bằng bậc của mẫu số. Điều này luôn đúng với hàm số $y=\frac{x+1}{x^2-2mx+4}$ vì bậc của tử số là 1 và bậc của mẫu số cũng là 2. 3. Tiệm cận xiên: Đường thẳng $y = ax + b$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: - $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ - $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ Đối với hàm số $y=\frac{x+1}{x^2-2mx+4}$, đường thẳng $y = ax + b$ là tiệm cận xiên khi và chỉ khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số một bậc. Điều này không đúng với hàm số $y=\frac{x+1}{x^2-2mx+4}$ vì bậc của tử số bằng 1 và bậc của mẫu số bằng 2. Từ các phân tích trên, ta thấy để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận thì điều kiện cần và đủ là phương trình $x^2 - 2mx + 4 = 0$ có nghiệm và có nghiệm xác định tại $x = a$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\Delta = (2m)^2 - 4.1.4 = 4m^2 - 16 \geq 0 \Leftrightarrow m^2 \geq 4 \Leftrightarrow m \leq -2$ hoặc $m \geq 2$. Kết hợp với điều kiện $-2 < m < 2$, ta thấy chỉ có $m \geq 2$ thỏa mãn cả hai điều kiện. Vậy để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận thì $m$ phải thỏa mãn $m \geq 2$. Câu 8: Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình $y = ax + b$, trong đó $a$ là hệ số góc và $b$ là tung độ gốc của đường thẳng. Đối với hàm số $y=\frac{2x^2+(m+2)x+m-1}{x+1}$, hệ số góc $a$ của đường tiệm cận xiên là giới hạn của tỉ số $\frac{f(x)}{x}$ khi $x$ tiến tới vô cực. Ta có: $a = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+(m+2)x+m-1}{x(x+1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+(m+2)x+m-1}{x^2+x} = 2.$ Hệ số tung độ gốc $b$ của đường tiệm cận xiên là giới hạn của hiệu $f(x) - ax$ khi $x$ tiến tới vô cực. Ta có: $b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] = \lim_{x \to \infty} \left[\frac{2x^2+(m+2)x+m-1}{x+1} - 2x\right] = \lim_{x \to \infty} \frac{m-1}{x+1} = 0.$ Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = 2x$. Để đường tiệm cận xiên đi qua điểm $A(0;1)$, ta thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $y = 2x$, ta được: $1 = 2 \cdot 0 \Rightarrow 1 = 0.$ Điều này là vô lý, vậy phương trình $y = 2x$ không thể đi qua điểm $A(0;1)$. Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = 2x + b$, trong đó $b$ là tung độ gốc của đường thẳng. Hệ số tung độ gốc $b$ của đường tiệm cận xiên là giới hạn của hiệu $f(x) - ax$ khi $x$ tiến tới vô cực. Ta có: $b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] = \lim_{x \to \infty} \left[\frac{2x^2+(m+2)x+m-1}{x+1} - 2x\right] = \lim_{x \to \infty} \frac{m-1}{x+1} = m-1.$ Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = 2x + m - 1$. Để đường tiệm cận xiên đi qua điểm $A(0;1)$, ta thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $y = 2x + m - 1$, ta được: $1 = 2 \cdot 0 + m - 1 \Rightarrow m = 2.$ Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm. Câu 9: Đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-3x+m}{x-m}$ có tiệm cận đứng tại $x=m$ và tiệm cận xiên là đồ thị hàm số $y=2x-m$. Tiệm cận đứng và tiệm cận xiên cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 7, nên khi $x=m$ thì $y=7$. Thay $x=m$ vào phương trình tiệm cận xiên, ta có: $y=2m-m=7 \Rightarrow m=7.$ Thay $m=7$ vào hàm số ban đầu, ta có: $y=\frac{2x^2-3x+7}{x-7}.$ Để kiểm tra xem $m=7$ có thỏa mãn điều kiện xác định của hàm số hay không, ta xét điều kiện $x \neq m$, tức là $x \neq 7$. Vậy $m=7$ là giá trị cần tìm. Vậy đáp án là: $m=7$. Câu 10: Đối với hàm số $y=\frac{3x-1}{x+1}$, tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là $x+1=0$ hay $x=-1$. Vậy tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$. Tiệm cận ngang xảy ra khi $x$ tiến tới vô cực, tức là khi $x$ rất lớn hoặc rất nhỏ. Khi $x$ rất lớn hoặc rất nhỏ, thì $y$ gần bằng $\frac{3x}{x}=3$. Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y=3$. Bây giờ, giả sử điểm $M$ có tọa độ $(x, y)$ trên đồ thị $(C)$. Khoảng cách từ $M$ tới tiệm cận đứng là $|x+1|$, khoảng cách từ $M$ tới tiệm cận ngang là $|y-3|$. Theo bài toán, ta có $|x+1| = 4|y-3|$. Thay $y=\frac{3x-1}{x+1}$ vào, ta được: $|x+1| = 4|\frac{3x-1}{x+1} - 3|.$ Giải phương trình này, ta có: $|x+1| = 4|\frac{3x-1-3(x+1)}{x+1}| = 4|\frac{-4}{x+1}| = \frac{16}{|x+1|}.$ Bình phương hai vế, ta được: $(x+1)^2 = \frac{256}{(x+1)^2}.$ Nhân hai vế với $(x+1)^2$, ta được: $(x+1)^4 = 256.$ Lấy căn bậc 4 của hai vế, ta được: $x+1 = \pm 2\sqrt[4]{4}.$ Với $x+1 = 2\sqrt[4]{4}$, ta có $x = 2\sqrt[4]{4} - 1$. Với $x+1 = -2\sqrt[4]{4}$, ta có $x = -2\sqrt[4]{4} - 1$. Thay các giá trị của $x$ vào phương trình $y=\frac{3x-1}{x+1}$, ta tìm được hai điểm $M$ thỏa mãn bài toán: $M_1(2\sqrt[4]{4} - 1, \frac{3(2\sqrt[4]{4} - 1) - 1}{2\sqrt[4]{4}}),$ $M_2(-2\sqrt[4]{4} - 1, \frac{3(-2\sqrt[4]{4} - 1) - 1}{-2\sqrt[4]{4}}).$ Câu 11: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = f(x)$, ta cần tìm các giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến các điểm biên (cực đại, cực tiểu, vô cực) của tập xác định. Đối với hàm số $C(x) = \frac{50x + 2000}{x}$, tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. 1. Tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x = a$ nếu $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$. Trong trường hợp này, ta có: $\lim_{x \to 0} C(x) = \lim_{x \to 0} \frac{50x + 2000}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2000}{x} = \pm \infty.$ Vậy, đường thẳng $x = 0$ (hay $x$ trục tung) là tiệm cận đứng của đồ thị. 2. Tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = b$ nếu $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$. Trong trường hợp này, ta có: $\lim_{x \to \pm \infty} C(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{50x + 2000}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} 50 + \frac{2000}{x} = 50.$ Vậy, đường thẳng $y = 50$ là tiệm cận ngang của đồ thị.