Tìm tiệm cận ngang , tiệm cận đứng , tiệm cận xiêm

Câu 5. a) Hàm số đồng biến trên $(-6;+\infty)$. Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(-6;+\infty)$. Vậy khẳng định này là đúng. b) Đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận. Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có một tiệm cận đứng là $x=-6$ và một tiệm cận ngang là $y=-7$. Vậy khẳng định này là đúng. c) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-7$. Từ bảng biến thiên, ta thấy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-6$. Vậy khẳng định này là sai. d) Giá trị cực đại của hàm số là -21. Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số là $y=-7$. Vậy khẳng định này là sai. Vậy các khẳng định a) và b) là đúng, các khẳng định c) và d) là sai. Câu 1. a) Đối với hàm số $y=\frac{2x^2-5x+2}{x+1}$, ta có thể tìm tiệm cận bằng cách tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới các điểm mà tại đó hàm số không xác định. Hàm số không xác định khi $x=-1$. Tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $-1$: $\lim_{x\to -1} \frac{2x^2-5x+2}{x+1} = \lim_{x\to -1} \frac{(2x-1)(x-2)}{x+1} = \lim_{x\to -1} (2x-1)(x-2) = -3.$ Vậy, đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Tìm tiệm cận ngang bằng cách tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực: $\lim_{x\to \pm \infty} \frac{2x^2-5x+2}{x+1} = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{2x^2}{x} = 2.$ Vậy, đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.b) Đối với hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$, ta cũng tìm tiệm cận bằng cách tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới các điểm mà tại đó hàm số không xác định. Hàm số không xác định khi $x=-2$. Tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $-2$: $\lim_{x\to -2} \frac{x-1}{x+2} = \frac{-3}{0} = \pm \infty.$ Vậy, đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. $\lim_{x\to \pm \infty} \frac{x-1}{x+2} = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{1}{1} = 1.$ Vậy, đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.c) Đối với hàm số $y=\frac{-x+3}{x+2}$, ta cũng tìm tiệm cận bằng cách tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới các điểm mà tại đó hàm số không xác định. $\lim_{x\to -2} \frac{-x+3}{x+2} = \frac{5}{0} = \pm \infty.$ $\lim_{x\to \pm \infty} \frac{-x+3}{x+2} = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{-1}{1} = -1.$ Vậy, đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.d) Đối với hàm số $y=\frac{x^2-x-2}{x^2-1}$, ta cũng tìm tiệm cận bằng cách tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới các điểm mà tại đó hàm số không xác định. Hàm số không xác định khi $x=\pm 1$. Tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $1$: $\lim_{x\to 1} \frac{x^2-x-2}{x^2-1} = \frac{0}{0}.$ Dùng quy tắc L'Hopital, ta có: $\lim_{x\to 1} \frac{2x-1}{2x} = \frac{1}{2}.$ Vậy, đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $-1$: $\lim_{x\to -1} \frac{x^2-x-2}{x^2-1} = \frac{0}{0}.$ $\lim_{x\to -1} \frac{2x-1}{2x} = \frac{-3}{2}.$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 2. Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+x+2}{x+1}$, chúng ta cần tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực. Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực là: $\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2+x+2}{x+1}.$ Để tính giới hạn này, chúng ta chia tử số và mẫu số cho $x$: $\lim_{x\to\infty} \frac{x^2+x+2}{x+1} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2/x + x/x + 2/x}{x/x + 1/x} = \lim_{x\to\infty} \frac{x + 1 + 2/x}{1 + 1/x}.$ Khi $x$ tiến tới vô cực, thì $2/x$ và $1/x$ tiến tới $0$, nên: $\lim_{x\to\infty} \frac{x + 1 + 2/x}{1 + 1/x} = \frac{\infty + 1 + 0}{1 + 0} = \infty.$ Vậy, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên. Để tìm phương trình của tiệm cận xiên, chúng ta cần tìm giới hạn của hàm số $f(x)$ trừ đi $x$ khi $x$ tiến tới vô cực: $\lim_{x\to\infty} [f(x) - x] = \lim_{x\to\infty} \left[\frac{x^2+x+2}{x+1} - x\right] = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2+x+2 - x(x+1)}{x+1} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2+x+2 - x^2 - x}{x+1} = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{x+1}.$ Khi $x$ tiến tới vô cực, thì $2/(x+1)$ tiến tới $0$, nên: $\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x+1} = 0.$ Vậy, phương trình của tiệm cận xiên là $y = x$. Câu 3. Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x+3}$, chúng ta cần tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực. Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực là: $\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2-3x+2}{x+3}.$ Chia tử và mẫu của phân thức cho $x$, ta được: $\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{x-3+\frac{2}{x}}{1+\frac{3}{x}} = \frac{\infty-3+0}{1+0} = \infty.$ Vì giới hạn này là vô cực, nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên. Để tìm phương trình của tiệm cận xiên, chúng ta cần tìm giới hạn của hàm số $f(x)$ trừ đi $x$, khi $x$ tiến tới vô cực: $\lim_{x\to\infty} [f(x) - x] = \lim_{x\to\infty} \left[\frac{x^2-3x+2}{x+3} - x\right].$ Nhân tử và mẫu của phân thức với $(x+3)$, ta được: $\lim_{x\to\infty} [f(x) - x] = \lim_{x\to\infty} \left[\frac{x^2-3x+2 - x(x+3)}{x+3}\right] = \lim_{x\to\infty} \frac{-3x+2}{x+3}.$ Chia tử và mẫu của phân thức cho $x$, ta được: $\lim_{x\to\infty} [f(x) - x] = \lim_{x\to\infty} \frac{-3+\frac{2}{x}}{1+\frac{3}{x}} = \frac{-3+0}{1+0} = -3.$ Vậy, phương trình của tiệm cận xiên là $y = x - 3$.