Tìm cặp số nguyên ($x, y$) thỏa mãn phương trình: $(x+y)(2x+3y)²+2x+y+2=0$

Đầu tiên, chúng ta cần nhận xét rằng $(x+y)(2x+3y)²+2x+y+2=0$ là một phương trình bậc ba theo biến $x+y$. Tuy nhiên, chúng ta có thể thấy rằng nếu $x+y=0$ thì phương trình trở thành $0+2=0$, vô lý. Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng $x+y \neq 0$. Bây giờ, chúng ta đặt $t = x+y$. Khi đó, phương trình trở thành: $t(2x+3y)²+t+2=0.$ Rút gọn, chúng ta được: $t(2x+3y)²+t=-2.$ Chia cả hai vế cho $t$, chúng ta được: $(2x+3y)²+1=-\frac{2}{t}.$ Vế trái của phương trình là một số không âm, do đó vế phải cũng phải là một số không âm. Từ đó, chúng ta có: $-\frac{2}{t} \geq 0 \Rightarrow t < 0.$ Tuy nhiên, chúng ta đã nhận xét ở trên rằng $x+y=t \neq 0$. Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng $t < 0$. Bây giờ, chúng ta đặt $t = -k$ với $k > 0$. Khi đó, phương trình trở thành: $-k(2x+3y)²-k=-2.$ Chia cả hai vế cho $-k$, chúng ta được: $(2x+3y)²+1=\frac{2}{k}.$ Vế trái của phương trình là một số không âm, do đó vế phải cũng phải là một số không âm. Từ đó, chúng ta có: $\frac{2}{k} \geq 0 \Rightarrow k > 0.$ Từ các kết luận trên, chúng ta có thể kết luận rằng $k > 0$. Bây giờ, chúng ta đặt $k = 1$. Khi đó, phương trình trở thành: $(2x+3y)²+1=2.$ Từ đó, chúng ta có: $(2x+3y)²=1.$ Do đó, chúng ta có hai trường hợp: $2x+3y=1 \text{ hoặc } 2x+3y=-1.$ Giải hai phương trình này, chúng ta tìm được hai cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình ban đầu. Cuối cùng, chúng ta có đáp án: $\text{Cặp số nguyên } (x, y) \text{ thỏa mãn phương trình là: } (x, y) = (0, -1) \text{ hoặc } (x, y) = (-1, 0).$