giúp tớ voi

Bài 11: Đầu tiên, chúng ta cần tìm hàm lợi nhuận. Lợi nhuận được tính bằng doanh thu trừ đi chi phí. Doanh thu là giá sản phẩm nhân với sản lượng, chi phí là giá thuê lao động nhân với số lượng lao động. Doanh thu: $R = P \cdot Q = 5 \cdot 100\sqrt[5]{L^3} = 500\sqrt[5]{L^3}$. Chi phí: $C = P_L \cdot L = 3L$. Lợi nhuận: $\pi = R - C = 500\sqrt[5]{L^3} - 3L$. Để tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa, chúng ta cần tìm cực trị của hàm lợi nhuận $\pi$. Để làm điều này, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm lợi nhuận theo biến $L$ và đặt nó bằng 0. $\frac{d\pi}{dL} = \frac{d}{dL}(500\sqrt[5]{L^3} - 3L) = \frac{d}{dL}(500L^{3/5}) - 3 = 0$. Đạo hàm của $500L^{3/5}$ theo $L$ là $\frac{3}{5} \cdot 500L^{-2/5} = 300L^{-2/5}$. Thay vào phương trình trên, chúng ta có: $300L^{-2/5} - 3 = 0$. Giải phương trình này, chúng ta được: $300L^{-2/5} = 3 \Rightarrow L^{-2/5} = \frac{3}{300} = 0.01$. Lấy nghịch đảo cả hai vế, chúng ta được: $L^{2/5} = \frac{1}{0.01} = 100$. Lấy lũy thừa 5 cả hai vế, chúng ta được: $L = (100)^{5/2} = 10000$. Vậy, để lợi nhuận tối đa, cần sử dụng $10000$ đơn vị lao động. Bài 12: Đầu tiên, tính đạo hàm của hàm cầu $Q_D$ theo $P$: $Q'_D = \frac{dQ_D}{dP} = 6 - 2P$. Tại $P_0 = 5$, ta có: $Q'_D(5) = 6 - 2*5 = 6 - 10 = -4$. Tính hệ số co dãn tại $P_0 = 5$: $\epsilon = \frac{P_0Q'_D(P_0)}{Q_D(P_0)} = \frac{5*(-4)}{6*5 - 5^2} = \frac{-20}{30 - 25} = \frac{-20}{5} = -4$. Ý nghĩa kết quả: Hệ số co dãn tại $P_0 = 5$ là $-4$. Điều này có nghĩa là khi giá thay đổi 1% thì lượng cầu thay đổi 4% theo hướng ngược lại. Nói cách khác, hàng hoá này có tính co dãn mạnh. Bài 13: Lợi nhuận là hiệu của doanh thu và chi phí, nên ta có: $\Pi(Q) = R(Q) - C(Q) = (1400Q - 7,5Q^2) - (Q^3 - 6Q^2 + 140Q + 750)$ $\Pi(Q) = -Q^3 + 5,5Q^2 + 1290Q - 750.$ Để tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa, ta cần tìm cực trị của hàm lợi nhuận $\Pi(Q)$. Đạo hàm của hàm lợi nhuận theo Q là: $\Pi'(Q) = -3Q^2 + 11Q + 1290.$ Để tìm cực trị, ta giải phương trình $\Pi'(Q) = 0$: $-3Q^2 + 11Q + 1290 = 0.$ Phương trình này không thể giải trực tiếp bằng cách nhân biểu thức với một số thích hợp để được một bình phương đúng. Tuy nhiên, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $Q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$ Ở đây, $a = -3$, $b = 11$, và $c = 1290$. Thay vào công thức, ta được: $Q = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4(-3)(1290)}}{2(-3)} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 15480}}{-6} = \frac{-11 \pm \sqrt{15601}}{-6}.$ Ta tính căn bậc hai của 15601 được khoảng 125. Do đó, ta có hai nghiệm: $Q_1 = \frac{-11 + 125}{-6} = \frac{114}{-6} = -19,$ $Q_2 = \frac{-11 - 125}{-6} = \frac{-136}{-6} = \frac{68}{3} \approx 22,67.$ Vì sản lượng không thể âm, nên ta chỉ lấy nghiệm dương $Q_2 = \frac{68}{3} \approx 22,67$. Tuy nhiên, sản lượng không thể là số thập phân, nên ta cần làm tròn số. Nếu làm tròn xuống thì sản lượng sẽ là 22, nhưng nếu làm tròn lên thì sản lượng sẽ là 23. Để xét xem nên làm tròn theo hướng nào, ta thay các giá trị này vào đạo hàm cấp hai: $\Pi''(Q) = -6Q + 11.$ Thay $Q = 22$ vào, ta được: $\Pi''(22) = -6(22) + 11 = -126 < 0,$ nên $Q = 22$ là điểm cực đại. Thay $Q = 23$ vào, ta được: $\Pi''(23) = -6(23) + 11 = -137 < 0,$ nên $Q = 23$ cũng là điểm cực đại. Vì vậy, ta có thể chọn bất cứ một trong hai giá trị này làm mức sản lượng tối ưu. Tuy nhiên, để đảm bảo lợi nhuận thực sự là tối đa, ta nên tính lợi nhuận tại cả hai giá trị này: $\Pi(22) = -22^3 + 5,5(22)^2 + 1290(22) - 750 = 3158,$ $\Pi(23) = -23^3 + 5,5(23)^2 + 1290(23) - 750 = 3158,5.$ Vì $\Pi(23) > \Pi(22)$, nên mức sản lượng tối ưu là $Q = 23$. Vậy, doanh nghiệp cần sản xuất 23 sản phẩm để có lợi nhuận tối đa.