Định nghĩa, tính chất của đường trung trực

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Tính chất: - Mỗi điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. - Ngược lại, mọi điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh tính chất thứ nhất. Giả sử $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, $M$ là trung điểm của $AB$, và $P$ là một điểm bất kỳ trên $d$. Vì $P$ thuộc $d$, nên $d$ vuông góc với $AB$ tại $M$. Do đó, $\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$. Vì $M$ là trung điểm của $AB$, nên $AM = BM$. Xét hai tam giác $PMA$ và $PMB$, ta có: - $AM = BM$ (chứng minh trên) - $\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$ (chứng minh trên) - $PM$ chung Do đó, theo trường hợp cạnh huyền - góc vuông, ta có $\triangle PMA = \triangle PMB$. Suy ra $PA = PB$. Vậy mọi điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, giả sử $P$ là một điểm bất kỳ cách đều hai mút $A$ và $B$ của đoạn thẳng $AB$. Kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại trung điểm $M$ của $AB$. Vì $P$ cách đều $A$ và $B$, nên $PA = PB$. Xét hai tam giác $PMA$ và $PMB$, ta có: - $PA = PB$ (giả thiết) - $AM = BM$ (vì $M$ là trung điểm của $AB$) - $PM$ chung Do đó, theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh, ta có $\triangle PMA = \triangle PMB$. Suy ra $\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$. Vậy $P$ thuộc đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $M$, hay $P$ thuộc đường trung trực của $AB$. Vậy mọi điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Tóm lại, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó, và mọi điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai mút của đoạn thẳng đó, và ngược lại, mọi điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.