Đọc và trả lời câu hỏi

Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc đã nêu để cung cấp các giải pháp hiệu quả và chính xác cho các bài toán đại số và hình học ở mức độ lớp 12. Dưới đây là một ví dụ về cách áp dụng các quy tắc này trong quá trình giải quyết một bài toán đại số. Ví dụ: Giải phương trình $\frac{x+1}{x-2} = \frac{x-3}{x+4}$ Bước 1: Đặt điều kiện xác định (ĐKXĐ) Để phương trình có nghĩa, ta phải có: \[ x - 2 \neq 0 \quad \text{và} \quad x + 4 \neq 0 \] \[ x \neq 2 \quad \text{và} \quad x \neq -4 \] Bước 2: Giải phương trình Nhân cả hai vế với $(x-2)(x+4)$ để khử mẫu: \[ (x+1)(x+4) = (x-3)(x-2) \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ x^2 + 5x + 4 = x^2 - 5x + 6 \] Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ x^2 + 5x + 4 - x^2 + 5x - 6 = 0 \] \[ 10x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc nhất: \[ 10x = 2 \] \[ x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định Ta thấy rằng $x = \frac{1}{5}$ thỏa mãn điều kiện $x \neq 2$ và $x \neq -4$. Do đó, $x = \frac{1}{5}$ là nghiệm của phương trình. Kết luận: Phương trình $\frac{x+1}{x-2} = \frac{x-3}{x+4}$ có nghiệm là $x = \frac{1}{5}$. Trên đây là cách áp dụng các quy tắc đã nêu để giải quyết một bài toán đại số. Tôi sẽ tiếp tục áp dụng các quy tắc này trong các bài toán khác theo yêu cầu của bạn. BÀI 4. Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba, hàm bậc bốn trùng phương và hàm hữu tỉ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số - Đối với hàm bậc ba và hàm bậc bốn trùng phương, tập xác định là $\mathbb{R}$. - Đối với hàm hữu tỉ, tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ ngoại trừ những giá trị làm mẫu số bằng 0. Bước 2: Tìm các giới hạn của hàm số - Giới hạn khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$. - Giới hạn tại các điểm đặc biệt (nếu có). Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt - Các điểm giao với trục hoành (giải phương trình $f(x) = 0$). - Các điểm giao với trục tung ($f(0)$). Bước 4: Tìm đạo hàm của hàm số - Đạo hàm $f'(x)$ để tìm các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến. Bước 5: Xét dấu của đạo hàm - Giải bất phương trình $f'(x) > 0$ để tìm các khoảng đồng biến. - Giải bất phương trình $f'(x) < 0$ để tìm các khoảng nghịch biến. Bước 6: Tìm các điểm cực trị - Giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm các điểm cực trị. - Kiểm tra dấu của đạo hàm ở hai bên mỗi điểm cực trị để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu). Bước 7: Tìm các đường tiệm cận (nếu có) - Đường tiệm cận đứng: Giải phương trình mẫu số bằng 0. - Đường tiệm cận ngang: Giới hạn khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$. Bước 8: Vẽ đồ thị - Lấy các điểm đặc biệt đã tìm được. - Vẽ các đường tiệm cận (nếu có). - Vẽ đồ thị dựa trên các thông tin về khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị. Ví dụ cụ thể: Hàm bậc ba: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 1. Tập xác định: $\mathbb{R}$ 2. Giới hạn: - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ 3. Điểm giao với trục hoành: $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$ - $(x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0$ - $x = 1$, $x = 1 \pm \sqrt{3}$ 4. Điểm giao với trục tung: $f(0) = 2$ 5. Đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 6x$ 6. Xét dấu đạo hàm: - $f'(x) > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$ - $f'(x) < 0$ khi $0 < x < 2$ 7. Điểm cực trị: - $f'(x) = 0$ khi $x = 0$ hoặc $x = 2$ - $f(0) = 2$ (cực đại) - $f(2) = -2$ (cực tiểu) Hàm hữu tỉ: $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$ 1. Tập xác định: $x \neq 2$ 2. Giới hạn: - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to 2} f(x) = +\infty$ (vì mẫu số bằng 0) 3. Điểm giao với trục hoành: $x^2 - 1 = 0$ - $x = \pm 1$ 4. Điểm giao với trục tung: $f(0) = \frac{1}{2}$ 5. Đạo hàm: $f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2 - 1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 2}{(x-2)^2}$ 6. Xét dấu đạo hàm: - $f'(x) > 0$ khi $x < 2 - \sqrt{2}$ hoặc $x > 2 + \sqrt{2}$ - $f'(x) < 0$ khi $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ 7. Điểm cực trị: - $f'(x) = 0$ khi $x = 2 \pm \sqrt{2}$ - $f(2 - \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}$ (cực tiểu) - $f(2 + \sqrt{2}) = 2 - \sqrt{2}$ (cực đại) Kết luận: - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bằng cách thực hiện các bước từ xác định tập xác định đến vẽ đồ thị dựa trên các thông tin đã tìm được. Câu 1. Để xác định hàm số có đồ thị như đường cong trong hình, ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. A. \( y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} \) - Ta thấy rằng hàm số này có dạng phân thức, do đó nó có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Tuy nhiên, đồ thị trong hình không có tiệm cận đứng, nên hàm số này không phải là đáp án. B. \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) - Hàm số này cũng có dạng phân thức và có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Tương tự như trên, đồ thị trong hình không có tiệm cận đứng, nên hàm số này cũng không phải là đáp án. C. \( y = x^3 - 3x - 1 \) - Hàm số này là một đa thức bậc ba, không có tiệm cận đứng. Đồ thị của hàm số bậc ba thường có dạng uốn lượn và có thể phù hợp với đường cong trong hình. D. \( y = x^2 + x - 1 \) - Hàm số này là một đa thức bậc hai, tức là một parabol. Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong mở rộng ra hai phía, không phù hợp với đường cong trong hình. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số \( y = x^3 - 3x - 1 \) có thể có đồ thị giống như đường cong trong hình. Vậy đáp án đúng là: C. \( y = x^3 - 3x - 1 \) Câu 2. Để xác định hàm số của đồ thị, ta sẽ kiểm tra từng phương án một bằng cách thay các giá trị đặc biệt vào các phương án để so sánh với đồ thị đã cho. 1. Kiểm tra điểm $(0, -2)$: - Phương án A: $y = 0^3 - 3 \cdot 0 + 2 = 2$. Không thỏa mãn. - Phương án B: $y = -0^3 + 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Thỏa mãn. - Phương án C: $y = 0^3 - 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Thỏa mãn. - Phương án D: $y = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - \frac{7}{3} \cdot 0 - 2 = -2$. Thỏa mãn. 2. Kiểm tra điểm $(1, 0)$: - Phương án B: $y = -(1)^3 + 3 \cdot 1 - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Thỏa mãn. - Phương án C: $y = (1)^3 - 3 \cdot 1 - 2 = 1 - 3 - 2 = -4$. Không thỏa mãn. - Phương án D: $y = \frac{1}{3} \cdot (1)^3 - \frac{7}{3} \cdot 1 - 2 = \frac{1}{3} - \frac{7}{3} - 2 = -\frac{6}{3} - 2 = -2 - 2 = -4$. Không thỏa mãn. 3. Kiểm tra điểm $(-1, 0)$: - Phương án B: $y = -(-1)^3 + 3 \cdot (-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4$. Không thỏa mãn. - Phương án C: $y = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Thỏa mãn. - Phương án D: $y = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - \frac{7}{3} \cdot (-1) - 2 = -\frac{1}{3} + \frac{7}{3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$. Thỏa mãn. Từ các kiểm tra trên, chỉ có phương án B thỏa mãn tất cả các điểm kiểm tra trên đồ thị. Vậy đáp án đúng là: B. $y = -x^3 + 3x - 2$. Câu 3. Để xác định hàm số đúng, ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho bằng cách vẽ đồ thị hoặc kiểm tra các đặc điểm của chúng. A. \( y = -x^3 + 3x + 2 \) - Đây là hàm bậc ba với hệ số của \( x^3 \) là âm, do đó đồ thị của nó sẽ có dạng cong xuống ở hai đầu. - Ta thử tính giá trị của hàm số tại một vài điểm: - Khi \( x = 0 \): \( y = 2 \) - Khi \( x = 1 \): \( y = -1 + 3 + 2 = 4 \) - Khi \( x = -1 \): \( y = 1 - 3 + 2 = 0 \) B. \( y = x^2 + 1 \) - Đây là hàm bậc hai, đồ thị của nó là một parabol mở lên. - Ta thử tính giá trị của hàm số tại một vài điểm: - Khi \( x = 0 \): \( y = 1 \) - Khi \( x = 1 \): \( y = 1 + 1 = 2 \) - Khi \( x = -1 \): \( y = 1 + 1 = 2 \) C. \( y = x^3 + x^2 + 1 \) - Đây là hàm bậc ba với hệ số của \( x^3 \) là dương, do đó đồ thị của nó sẽ có dạng cong lên ở hai đầu. - Ta thử tính giá trị của hàm số tại một vài điểm: - Khi \( x = 0 \): \( y = 1 \) - Khi \( x = 1 \): \( y = 1 + 1 + 1 = 3 \) - Khi \( x = -1 \): \( y = -1 + 1 + 1 = 1 \) D. \( y = x^3 - 3x + 2 \) - Đây là hàm bậc ba với hệ số của \( x^3 \) là dương, do đó đồ thị của nó sẽ có dạng cong lên ở hai đầu. - Ta thử tính giá trị của hàm số tại một vài điểm: - Khi \( x = 0 \): \( y = 2 \) - Khi \( x = 1 \): \( y = 1 - 3 + 2 = 0 \) - Khi \( x = -1 \): \( y = -1 + 3 + 2 = 4 \) So sánh các kết quả trên với đồ thị đã cho, ta thấy rằng đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) phù hợp nhất với đồ thị đã cho. Vậy đáp án đúng là: D. \( y = x^3 - 3x + 2 \). Câu 4. Để xác định đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra các tính chất của hàm số và so sánh với các lựa chọn đã cho. Bước 1: Xác định điểm giao với trục y - Điểm giao với trục y là điểm mà tại đó \( x = 0 \). - Thay \( x = 0 \) vào các hàm số: - A. \( y = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2 \) - B. \( y = -(0)^3 + 3(0) + 2 = 2 \) - C. \( y = -(0)^3 + 3(0)^2 - 2 = -2 \) - D. \( y = 0^3 - 3(0) + 2 = 2 \) Như vậy, các hàm số A, B và D đều có điểm giao với trục y là \( (0, 2) \). Hàm số C có điểm giao với trục y là \( (0, -2) \). Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm - Đạo hàm của các hàm số: - A. \( y' = 3x^2 - 6x \) - B. \( y' = -3x^2 + 3 \) - C. \( y' = -3x^2 + 6x \) - D. \( y' = 3x^2 - 3 \) Bước 3: Kiểm tra các điểm cực trị - Các điểm cực trị xuất hiện khi đạo hàm bằng 0. - A. \( 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(3x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \) - B. \( -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \) - C. \( -3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x(-3x + 6) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \) - D. \( 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \) Bước 4: So sánh với đồ thị - Đồ thị có hai điểm cực trị, một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Từ các tính chất trên, chỉ có hàm số B (\( y = -x^3 + 3x + 2 \)) có hai điểm cực trị là \( x = 1 \) và \( x = -1 \), và điểm giao với trục y là \( (0, 2) \). Vậy đáp án đúng là: B. \( y = -x^3 + 3x + 2 \)