Gia đình bác hùng có một ao cá hình chữ nhật ,để lắp đặt một hệ thống điện ra vị trí O ở giữa hồ bác dự định nối một đường dây điện từ vị trí A trên bờ hồ đến vị trí O ở giữa hồ biết khoảng cách ngắn nhất từ O đến bờ hồ OM bằng 84 m khoảng cách từ A đến M AM = 112m ,Mỗi mét dây điện lắp đặt ở trên bờ có chi phí cả tiền công và tiền vật liệu là 25.200₫ và mỗi mét giây điện lắp đặt ở dưới nước có chi phí cả tiền công và tiền vật liệu là 42.000đ , chi phí lắp đặt thấp nhất mà gia đình bác hùng bỏ ra là bao nhiêu

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số liên quan đến chi phí lắp đặt đường dây điện.

Bước 1: Xác định các đại lượng và vẽ sơ đồ.
- Khoảng cách từ O đến M là 84 m.
- Khoảng cách từ A đến M là 112 m.
- Chi phí lắp đặt trên bờ là 25.200 ₫/m.
- Chi phí lắp đặt dưới nước là 42.000 ₫/m.

Bước 2: Xác định đại lượng cần tìm.
- Gọi khoảng cách từ M đến B là $ x $ (0 ≤ $ x $ ≤ 112).
- Khoảng cách từ B đến O là $ \sqrt{x^2 + 84^2} $.

Bước 3: Xác định tổng chi phí lắp đặt.
- Chi phí lắp đặt trên bờ từ A đến B là $ 25.200 \times (112 - x) $.
- Chi phí lắp đặt dưới nước từ B đến O là $ 42.000 \times \sqrt{x^2 + 84^2} $.

Tổng chi phí lắp đặt là:
$$ C(x) = 25.200 \times (112 - x) + 42.000 \times \sqrt{x^2 + 84^2} $$

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ C(x) $.
- Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ C(x) $, chúng ta sẽ tính đạo hàm của $ C(x) $ và tìm điểm cực tiểu.

$$ C&#x27;(x) = -25.200 + 42.000 \times \frac{x}{\sqrt{x^2 + 84^2}} $$

Đặt $ C&#x27;(x) = 0 $:
$$ -25.200 + 42.000 \times \frac{x}{\sqrt{x^2 + 84^2}} = 0 $$
$$ 42.000 \times \frac{x}{\sqrt{x^2 + 84^2}} = 25.200 $$
$$ \frac{x}{\sqrt{x^2 + 84^2}} = \frac{25.200}{42.000} $$
$$ \frac{x}{\sqrt{x^2 + 84^2}} = \frac{3}{5} $$
$$ 5x = 3\sqrt{x^2 + 84^2} $$
$$ 25x^2 = 9(x^2 + 84^2) $$
$$ 25x^2 = 9x^2 + 9 \times 84^2 $$
$$ 16x^2 = 9 \times 84^2 $$
$$ x^2 = \frac{9 \times 84^2}{16} $$
$$ x^2 = \frac{9 \times 7056}{16} $$
$$ x^2 = 3969 $$
$$ x = 63 $$

Bước 5: Tính tổng chi phí lắp đặt khi $ x = 63 $.
- Khoảng cách từ A đến B là $ 112 - 63 = 49 $ m.
- Khoảng cách từ B đến O là $ \sqrt{63^2 + 84^2} = \sqrt{3969 + 7056} = \sqrt{11025} = 105 $ m.

Tổng chi phí lắp đặt là:
$$ C(63) = 25.200 \times 49 + 42.000 \times 105 $$
$$ C(63) = 1.234.800 + 4.410.000 $$
$$ C(63) = 5.644.800 $$

Vậy chi phí lắp đặt thấp nhất mà gia đình bác Hùng bỏ ra là 5.644.800 ₫.

Gia đình bác hùng có một ao cá hình chữ nhật ,để lắp đặt một hệ thống điện ra vị trí O ở giữa hồ bác dự định nối một đường dây điện từ vị trí A trên bờ hồ đến vị trí O ở giữa hồ biết khoảng cách ngắn n...