vaicaniuoilaoi

Câu 3: Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ là điểm $I\left(\frac{-d}{c}; \frac{a}{c}\right)$. Trong trường hợp này, ta có $a = 2$, $b = 1$, $c = 1$, và $d = -1$. Do đó, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left(\frac{-(-1)}{1}; \frac{2}{1}\right) = I(1; 2)$. Bước 2: Tính tổng $a + b$. Ta có $a = 1$ và $b = 2$, do đó $a + b = 1 + 2 = 3$. Kết quả: $a + b = 3$. Đáp số: $3$. Câu 4: Để tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x^2-3x+2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần tìm các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số \( x^2 - 3x + 2 \) bằng 0. \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Giải phương trình này: \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] Suy ra: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Vậy ĐKXĐ là \( x \neq 1 \) và \( x \neq 2 \). 2. Tìm đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng xuất hiện tại các điểm mà hàm số không xác định do mẫu số bằng 0. Từ trên, ta thấy \( x = 1 \) và \( x = 2 \) là các điểm không xác định của hàm số. Do đó, đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \) và \( x = 2 \). 3. Tìm đường tiệm cận ngang: Để tìm đường tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-1}{x^2-3x+2} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} \] Khi \( x \to \pm\infty \), các phân số có mẫu số là \( x \) hoặc \( x^2 \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{0 - 0}{1 - 0 + 0} = 0 \] Vậy đường tiệm cận ngang là \( y = 0 \). Kết luận: Đồ thị hàm số \( y = \frac{x-1}{x^2-3x+2} \) có 3 đường tiệm cận: 2 đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \) và \( x = 2 \), và 1 đường tiệm cận ngang là \( y = 0 \). Câu 5: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \), ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Phép chia đa thức: Ta chia \( x^2 - 2x + 2 \) cho \( x - 1 \): \[ \begin{array}{r|rr} & x & -1 \\ \hline x^2 & x & -1 \\ \hline & x^2 & -x \\ \hline & & -x & +2 \\ & & -x & +1 \\ \hline & & & 1 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} \] 2. Xác định đường tiệm cận xiên: Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), phần \( \frac{1}{x - 1} \) sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = x - 1 \] Từ đây, ta thấy rằng \( m = 1 \) và \( n = -1 \). 3. Tính \( m + n \): \[ m + n = 1 + (-1) = 0 \] Vậy, kết quả là: \[ \boxed{0} \] Câu 6: Để tính \(a^2 + b^2\) cho hàm số \(f(x) = \frac{ax - 5}{x + b}\) dựa trên bảng biến thiên đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điểm bất định: Bảng biến thiên cho thấy hàm số có điểm bất định tại \(x = -b\). Do đó, \(x = -b\) là điểm bất định của hàm số. 2. Xác định giới hạn: Bảng biến thiên cũng cho thấy khi \(x \to -b\), \(f(x)\) tiến đến \(+\infty\) từ bên trái và \(-\infty\) từ bên phải. Điều này chỉ ra rằng \(x = -b\) là điểm bất định của hàm số. 3. Xác định giới hạn khi \(x \to \pm \infty\): Khi \(x \to \pm \infty\), hàm số \(f(x)\) tiến đến \(a\). Điều này cho thấy đường thẳng \(y = a\) là đường tiệm cận ngang của hàm số. 4. Xác định giá trị của \(a\) và \(b\): Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi \(x \to -b\), \(f(x)\) tiến đến \(+\infty\) từ bên trái và \(-\infty\) từ bên phải. Điều này chỉ ra rằng \(x = -b\) là điểm bất định của hàm số. Đồng thời, khi \(x \to \pm \infty\), \(f(x)\) tiến đến \(a\). Ta có thể suy ra rằng \(a = 2\) vì khi \(x \to \pm \infty\), \(f(x)\) tiến đến 2. Để xác định \(b\), ta sử dụng thông tin về điểm bất định. Khi \(x = -b\), hàm số không xác định. Do đó, ta có: \[ f(-b) = \frac{a(-b) - 5}{-b + b} = \frac{-ab - 5}{0} \] Điều này chỉ ra rằng \(x = -b\) là điểm bất định của hàm số. Vì vậy, ta có thể suy ra rằng \(b = -1\). 5. Tính \(a^2 + b^2\): Với \(a = 2\) và \(b = -1\), ta có: \[ a^2 + b^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \] Vậy, kết quả là: \[ \boxed{5} \] Câu 7: Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3x + 2}{x - 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn hàm số. \[ y = \frac{2x^2 - 3x + 2}{x - 1} \] Ta chia \(2x^2 - 3x + 2\) cho \(x - 1\): \[ 2x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(2x - 1) + 1 \] Do đó, \[ y = 2x - 1 + \frac{1}{x - 1} \] Bước 2: Xác định tâm đối xứng. Hàm số \( y = 2x - 1 + \frac{1}{x - 1} \) có dạng \( y = f(x) + g(x) \), trong đó \( f(x) = 2x - 1 \) là hàm bậc nhất và \( g(x) = \frac{1}{x - 1} \) là hàm phân thức bậc nhất. Tâm đối xứng của hàm phân thức bậc nhất \( g(x) = \frac{1}{x - 1} \) là điểm \( (1;0) \). Bước 3: Tìm tâm đối xứng của tổng của hai hàm số. Tâm đối xứng của \( y = 2x - 1 + \frac{1}{x - 1} \) sẽ là tâm đối xứng của \( g(x) = \frac{1}{x - 1} \) dịch chuyển theo tâm đối xứng của \( f(x) = 2x - 1 \). Tâm đối xứng của \( f(x) = 2x - 1 \) là \( (0; -1) \). Do đó, tâm đối xứng của \( y = 2x - 1 + \frac{1}{x - 1} \) là: \[ (1; 0) + (0; -1) = (1; -1) \] Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \( I(1; -1) \). Bước 4: Tính \( a + b \). \[ a + b = 1 + (-1) = 0 \] Đáp số: \( a + b = 0 \) Câu 8: Để tìm tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{x^2 + 4x + 16}{x} \), ta thực hiện phép chia đa thức như sau: \[ y = \frac{x^2 + 4x + 16}{x} = x + 4 + \frac{16}{x} \] Khi \( x \to \pm \infty \), phần \(\frac{16}{x}\) sẽ tiến đến 0. Do đó, tiệm cận xiên của hàm số là đường thẳng \( y = x + 4 \). Tiếp theo, ta tìm giao điểm của đường thẳng \( y = x + 4 \) với các trục tọa độ: - Giao điểm với trục Oy (khi \( x = 0 \)): \( y = 4 \). Vậy giao điểm là \( (0, 4) \). - Giao điểm với trục Ox (khi \( y = 0 \)): \( 0 = x + 4 \Rightarrow x = -4 \). Vậy giao điểm là \( (-4, 0) \). Diện tích của tam giác được tạo bởi đường thẳng \( y = x + 4 \) và hai trục tọa độ là: \[ S = \frac{1}{2} \times |x| \times |y| = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \] Vậy diện tích S của tam giác là \( 8 \). Đáp số: \( S = 8 \)