giúp tớ với Câu 4: Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào mỗi trường dinh đưỡng,thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công,$N(t)=1000+\frac{100t}{100+t^2}(con)$ trong đó t là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi,lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.,Trả lời: .....,Câu 5: Ông A dự định sử dụng hết $6,5~m^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp,nhật không nắp, chiều dài gấp đồi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể),cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?,Trả lời: .....

Question

jimmyphung · Accepted Answer

Câu 5

Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao của bể lần lượt là $x, 2 x, y(x, y>0)$.
Diện tích phần lắp kính là: $2 x . x+2 x y+2.2 x . y=2 x^2+6 x y=6,5$

$
\Leftrightarrow x y=\frac{6,5-2 x^2}{6}>0 \Rightarrow x<\sqrt{\frac{6,5}{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}
$

Thể tích bể cá là: $V=2 x . x . y=2 x . \frac{6,5-2 x^2}{6}=\frac{-4 x^3+13 x}{6}$ với $0<x<\frac{\sqrt{13}}{2}$
Ta có: $V^{\prime}=\frac{-12 x^2+13}{6}, V^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{39}}{6} \ x=-\frac{\sqrt{39}}{6}(L)\end{array} ight.$
Bảng biến thiên:

Vậy $V_{\max }=\frac{13 \sqrt{39}}{54} \approx 1,50 \mathrm{~m}^3$.

Timi · Answer

Câu 4: Để tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ N(t) $. Ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực đại của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của $ N(t) $. $$ N(t) = 1000 + \frac{100t}{100 + t^2} $$ Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: $$ N'(t) = \frac{(100)(100 + t^2) - (100t)(2t)}{(100 + t^2)^2} $$ $$ N'(t) = \frac{10000 + 100t^2 - 200t^2}{(100 + t^2)^2} $$ $$ N'(t) = \frac{10000 - 100t^2}{(100 + t^2)^2} $$ $$ N'(t) = \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} $$ Bước 2: Tìm các điểm cực đại bằng cách giải phương trình $ N'(t) = 0 $. $$ \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} = 0 $$ $$ 100 - t^2 = 0 $$ $$ t^2 = 100 $$ $$ t = 10 \text{ hoặc } t = -10 $$ Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm $ N'(t) $ để xác định tính chất của các điểm cực đại. - Khi $ t < -10 $, $ N'(t) < 0 $ - Khi $ -10 < t < 10 $, $ N'(t) > 0 $ - Khi $ t > 10 $, $ N'(t) < 0 $ Từ đây, ta thấy rằng $ t = 10 $ là điểm cực đại của hàm số $ N(t) $. Bước 4: Tính giá trị của $ N(t) $ tại điểm cực đại $ t = 10 $. $$ N(10) = 1000 + \frac{100 \cdot 10}{100 + 10^2} $$ $$ N(10) = 1000 + \frac{1000}{100 + 100} $$ $$ N(10) = 1000 + \frac{1000}{200} $$ $$ N(10) = 1000 + 5 $$ $$ N(10) = 1005 $$ Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng là 1005 con. Câu 5: Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể cá lần lượt là $l$, $w$ và $h$. Theo đề bài, ta có $l = 2w$. Diện tích toàn phần của bể cá (không tính nắp) là: $$ S = lw + 2lh + 2wh $$ Thay $l = 2w$ vào biểu thức trên, ta có: $$ S = w(2w) + 2(2w)h + 2wh = 2w^2 + 4wh + 2wh = 2w^2 + 6wh $$ Biết rằng diện tích toàn phần là $6,5 m^2$, ta có: $$ 2w^2 + 6wh = 6,5 $$ Diện tích đáy của bể cá là: $$ A = lw = 2w^2 $$ Thể tích của bể cá là: $$ V = lwh = 2w^2h $$ Từ phương trình diện tích toàn phần, ta có: $$ h = \frac{6,5 - 2w^2}{6w} $$ Thay vào biểu thức thể tích, ta có: $$ V = 2w^2 \left(\frac{6,5 - 2w^2}{6w}\right) = \frac{2w(6,5 - 2w^2)}{6} = \frac{13w - 4w^3}{6} $$ Để tìm giá trị lớn nhất của $V$, ta tính đạo hàm của $V$ theo $w$ và đặt nó bằng 0: $$ V' = \frac{d}{dw} \left(\frac{13w - 4w^3}{6}\right) = \frac{13 - 12w^2}{6} $$ Đặt $V' = 0$, ta có: $$ \frac{13 - 12w^2}{6} = 0 $$ $$ 13 - 12w^2 = 0 $$ $$ 12w^2 = 13 $$ $$ w^2 = \frac{13}{12} $$ $$ w = \sqrt{\frac{13}{12}} \approx 1,02 \text{ (m)} $$ Thay lại vào biểu thức của $h$: $$ h = \frac{6,5 - 2(1,02)^2}{6(1,02)} \approx \frac{6,5 - 2,08}{6,12} \approx \frac{4,42}{6,12} \approx 0,72 \text{ (m)} $$ Thể tích lớn nhất của bể cá là: $$ V = 2(1,02)^2 \times 0,72 \approx 2 \times 1,04 \times 0,72 \approx 1,49 \text{ (m}^3\text{)} $$ Vậy, thể tích lớn nhất của bể cá là khoảng $1,49 m^3$.