Giup mik voi

Câu 52: Để xác định giá trị lượng giác nào luôn dương trong khoảng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, ta sẽ kiểm tra từng hàm lượng giác đã cho. A. $\sin(\pi + \alpha)$ Ta biết rằng $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$. Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, nên $\sin(\alpha)$ luôn dương. Do đó, $-\sin(\alpha)$ luôn âm. Vậy $\sin(\pi + \alpha)$ luôn âm. B. $\cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ Ta biết rằng $\cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tan(\alpha)$. Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, nên $\tan(\alpha)$ luôn âm. Vậy $\cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ luôn âm. C. $\cos(-\alpha)$ Ta biết rằng $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, nên $\cos(\alpha)$ luôn âm. Vậy $\cos(-\alpha)$ luôn âm. D. $\tan(\pi + \alpha)$ Ta biết rằng $\tan(\pi + \alpha) = \tan(\alpha)$. Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, nên $\tan(\alpha)$ luôn âm. Vậy $\tan(\pi + \alpha)$ luôn âm. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng tất cả các giá trị lượng giác đã cho đều luôn âm trong khoảng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Do đó, không có giá trị lượng giác nào trong các lựa chọn luôn dương. Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 53: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm số lượng giác và các góc liên quan. Trước tiên, ta biết rằng $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Điều này có nghĩa là góc $\alpha$ nằm trong khoảng từ $\pi$ đến $\frac{3\pi}{2}$, tức là trong phần ba của vòng tròn đơn vị. Bây giờ, ta xét góc $\frac{3\pi}{2} - \alpha$. Ta có thể thấy rằng: \[ \frac{3\pi}{2} - \alpha \] Khi $\alpha$ nằm trong khoảng $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, thì $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ sẽ nằm trong khoảng: \[ 0 < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \pi \] Cụ thể hơn, khi $\alpha$ tiến gần $\pi$, thì $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ tiến gần $\frac{\pi}{2}$. Khi $\alpha$ tiến gần $\frac{3\pi}{2}$, thì $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ tiến gần $0$. Do đó, $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ nằm trong khoảng $(0, \pi)$. Trong khoảng $(0, \pi)$, hàm số $\tan$ là dương. Vì vậy, ta có: \[ \tan\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) > 0 \] Do đó, khẳng định đúng là: B. $\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) > 0$ Đáp án: B. $\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) > 0$ Câu 54: Để xác định dấu của biểu thức \( M = \cos\left(-\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cdot \tan(\pi - \alpha) \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng giá trị của \(\alpha\): \[ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \] 2. Tính giá trị của \(-\frac{\pi}{2} + \alpha\): \[ -\frac{\pi}{2} + \alpha \] Vì \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), nên: \[ -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{2} + \alpha < -\frac{\pi}{2} + \pi \] \[ 0 < -\frac{\pi}{2} + \alpha < \frac{\pi}{2} \] Do đó, \(-\frac{\pi}{2} + \alpha\) nằm trong khoảng \((0, \frac{\pi}{2})\). 3. Xác định dấu của \(\cos\left(-\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\): Trong khoảng \((0, \frac{\pi}{2})\), hàm cosin luôn dương. Vậy: \[ \cos\left(-\frac{\pi}{2} + \alpha\right) > 0 \] 4. Tính giá trị của \(\pi - \alpha\): \[ \pi - \alpha \] Vì \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), nên: \[ \pi - \pi < \pi - \alpha < \pi - \frac{\pi}{2} \] \[ 0 < \pi - \alpha < \frac{\pi}{2} \] Do đó, \(\pi - \alpha\) nằm trong khoảng \((0, \frac{\pi}{2})\). 5. Xác định dấu của \(\tan(\pi - \alpha)\): Trong khoảng \((0, \frac{\pi}{2})\), hàm tang luôn dương. Vậy: \[ \tan(\pi - \alpha) > 0 \] 6. Xác định dấu của biểu thức \(M\): Biểu thức \(M\) là tích của hai biểu thức dương: \[ M = \cos\left(-\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cdot \tan(\pi - \alpha) \] Vì cả hai biểu thức đều dương, nên: \[ M > 0 \] Vậy đáp án đúng là: B. \(M > 0\). Câu 55: Để xác định dấu của biểu thức \( M = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cot(\pi + \alpha) \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng giá trị của \(\alpha\): \[ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \] 2. Tính giá trị của \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\): \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos(\alpha) \] Vì \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), góc \(\alpha\) nằm trong khoảng từ \(\pi\) đến \(\frac{3\pi}{2}\), tức là trong tam giác vuông thứ ba. Trong tam giác vuông thứ ba, giá trị của \(\cos(\alpha)\) là âm. Do đó: \[ \cos(\alpha) < 0 \] 3. Tính giá trị của \(\cot(\pi + \alpha)\): \[ \cot(\pi + \alpha) = \cot(\alpha) \] Vì \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), góc \(\alpha\) nằm trong tam giác vuông thứ ba. Trong tam giác vuông thứ ba, giá trị của \(\cot(\alpha)\) là dương. Do đó: \[ \cot(\alpha) > 0 \] 4. Xác định dấu của biểu thức \(M\): \[ M = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cot(\pi + \alpha) = \cos(\alpha) \cot(\alpha) \] Ta đã biết \(\cos(\alpha) < 0\) và \(\cot(\alpha) > 0\). Tích của một số âm và một số dương là một số âm. Do đó: \[ M < 0 \] Vậy đáp án đúng là: D. \(M < 0\). Câu 56: Để tính giá trị của $\cos\left(\frac{\pi}{4} + (2k+1)\pi\right)$, ta sẽ sử dụng các công thức biến đổi góc và tính chất của hàm cosin. Bước 1: Ta nhận thấy rằng $(2k+1)\pi$ là một góc bội của $\pi$. Do đó, ta có thể sử dụng tính chất của hàm cosin để đơn giản hóa biểu thức. Bước 2: Áp dụng tính chất $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$, ta có: \[ \cos\left(\frac{\pi}{4} + (2k+1)\pi\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + 2k\pi + \pi\right) \] \[ = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \pi\right) \] Bước 3: Tiếp tục áp dụng tính chất $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$, ta có: \[ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \pi\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \] Bước 4: Biết rằng $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có: \[ -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy giá trị của $\cos\left(\frac{\pi}{4} + (2k+1)\pi\right)$ là $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Đáp án đúng là: B. $\cos\left(\frac{\pi}{4} + (2k+1)\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Câu 57: Để tính giá trị của $\cos\left(\frac{\pi}{3} + (2k+1)\pi\right)$, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hàm cosin. Bước 1: Xác định tính chất của hàm cosin. Hàm cosin có tính chất tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$, tức là $\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)$ cho mọi số nguyên $k$. Ngoài ra, $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$. Bước 2: Áp dụng tính chất vào bài toán. Ta có: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + (2k+1)\pi\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi + \pi\right) \] Theo tính chất tuần hoàn của hàm cosin, ta có: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi + \pi\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} + \pi\right) \] Áp dụng tính chất $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$, ta có: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \pi\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \] Bước 3: Tính giá trị của $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$. Ta biết rằng: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \] Bước 4: Kết luận. Do đó: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + (2k+1)\pi\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\cos\left(\frac{\pi}{3} + (2k+1)\pi\right) = -\frac{1}{2}$. Câu 58: Để tính giá trị biểu thức \( P = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 30^\circ + \ldots + \sin^2 80^\circ \), ta sẽ sử dụng tính chất của sin và cos để đơn giản hóa biểu thức. Ta biết rằng: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Do đó, ta có thể nhóm các cặp góc sao cho tổng của chúng là \(90^\circ\): \[ \sin^2 10^\circ + \sin^2 80^\circ = \sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1 \] \[ \sin^2 20^\circ + \sin^2 70^\circ = \sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ = 1 \] \[ \sin^2 30^\circ + \sin^2 60^\circ = \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1 \] \[ \sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ = \sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1 \] Như vậy, ta có 4 cặp mỗi cặp có giá trị là 1: \[ P = (\sin^2 10^\circ + \sin^2 80^\circ) + (\sin^2 20^\circ + \sin^2 70^\circ) + (\sin^2 30^\circ + \sin^2 60^\circ) + (\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ) \] \[ P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{4} \] Câu 59: Để tính giá trị biểu thức \( P = \tan 10^\circ \tan 20^\circ \tan 30^\circ \ldots \tan 80^\circ \), ta sẽ sử dụng tính chất của hàm tan và các góc liên quan. Trước tiên, ta nhận thấy rằng: \[ \tan(90^\circ - x) = \cot x \] Do đó, ta có thể nhóm các cặp góc sao cho tổng của chúng là 90°: \[ \tan 10^\circ \cdot \tan 80^\circ = \tan 10^\circ \cdot \cot 10^\circ = 1 \] \[ \tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ = \tan 20^\circ \cdot \cot 20^\circ = 1 \] \[ \tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ = \tan 30^\circ \cdot \cot 30^\circ = 1 \] \[ \tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ = \tan 40^\circ \cdot \cot 40^\circ = 1 \] Như vậy, biểu thức \( P \) có thể được viết lại thành: \[ P = (\tan 10^\circ \cdot \tan 80^\circ) \cdot (\tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ) \cdot (\tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ) \cdot (\tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ) \cdot \tan 45^\circ \] Biểu thức này bao gồm 4 cặp góc có tích bằng 1 và một góc đặc biệt là \( \tan 45^\circ \): \[ \tan 45^\circ = 1 \] Vậy: \[ P = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \] Đáp án đúng là: B. \( P = 1 \). Câu 60: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdots \tan 89^\circ \), ta sẽ sử dụng tính chất của hàm tan và các góc phụ. Trước hết, ta biết rằng: \[ \tan(90^\circ - x) = \cot x \] Do đó, ta có thể nhóm các cặp góc như sau: \[ \tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ = \tan 1^\circ \cdot \cot 1^\circ = 1 \] \[ \tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ = \tan 2^\circ \cdot \cot 2^\circ = 1 \] \[ \vdots \] \[ \tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ = \tan 44^\circ \cdot \cot 44^\circ = 1 \] Còn lại: \[ \tan 45^\circ = 1 \] Như vậy, biểu thức \( P \) có thể được viết lại thành: \[ P = (\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ) \cdot (\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ) \cdots (\tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ) \cdot \tan 45^\circ \] Mỗi cặp trong ngoặc đơn đều có giá trị bằng 1, và còn lại là \(\tan 45^\circ = 1\). Do đó: \[ P = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 \cdot 1 = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{1} \] Câu 61: Để xác định khẳng định nào đúng, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn dựa trên các công thức lượng giác cơ bản. A. $\sin \alpha + \cos \alpha = 1$ Đây không phải là một đẳng thức đúng cho mọi góc $\alpha$. Ví dụ, nếu $\alpha = 0^\circ$, thì $\sin 0^\circ + \cos 0^\circ = 0 + 1 = 1$, nhưng nếu $\alpha = 45^\circ$, thì $\sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \neq 1$. Do đó, khẳng định này sai. B. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ Đây là một trong những công thức lượng giác cơ bản và đúng cho mọi góc $\alpha$. Công thức này được gọi là công thức Pythagoras lượng giác. C. $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = 1$ Đây không phải là một đẳng thức đúng cho mọi góc $\alpha$. Ví dụ, nếu $\alpha = 0^\circ$, thì $\sin^3 0^\circ + \cos^3 0^\circ = 0 + 1 = 1$, nhưng nếu $\alpha = 45^\circ$, thì $\sin^3 45^\circ + \cos^3 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4} \neq 1$. Do đó, khẳng định này sai. D. $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1$ Đây không phải là một đẳng thức đúng cho mọi góc $\alpha$. Ví dụ, nếu $\alpha = 0^\circ$, thì $\sin^4 0^\circ + \cos^4 0^\circ = 0 + 1 = 1$, nhưng nếu $\alpha = 45^\circ$, thì $\sin^4 45^\circ + \cos^4 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = \frac{2}{16} + \frac{2}{16} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq 1$. Do đó, khẳng định này sai. Vậy khẳng định đúng là: B. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ Câu 62: Để xác định khẳng định đúng, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn dựa trên các công thức lượng giác cơ bản. A. $\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1$ Theo công thức lượng giác cơ bản, ta có: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Áp dụng cho $x = 2\alpha$, ta có: \[ \sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1 \] Khẳng định này đúng. B. $\sin(\alpha^2) + \cos(\alpha^2) = 1$ Công thức lượng giác cơ bản không hỗ trợ khẳng định này. Thực tế, $\sin x + \cos x$ không phải lúc nào cũng bằng 1. Do đó, khẳng định này sai. C. $\sin^2 \alpha + \cos^2 (180^\circ - \alpha) = 1$ Ta biết rằng: \[ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \] Do đó: \[ \cos^2 (180^\circ - \alpha) = (-\cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha \] Vậy: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Khẳng định này đúng. D. $\sin^2 \alpha - \cos^2 (180^\circ - \alpha) = 1$ Tương tự như trên, ta có: \[ \cos^2 (180^\circ - \alpha) = \cos^2 \alpha \] Do đó: \[ \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \neq 1 \] Khẳng định này sai. Kết luận: Các khẳng định đúng là A và C. Đáp án: A và C. Câu 63: Để xác định mệnh đề nào là sai, chúng ta cần biết các mệnh đề cụ thể. Tuy nhiên, vì câu hỏi không cung cấp các mệnh đề để kiểm tra, tôi sẽ giả sử rằng bạn muốn biết cách lập luận từng bước để xác định một mệnh đề sai dựa trên các thông tin đã cho. Giả sử chúng ta có các mệnh đề sau: 1. Mệnh đề A: Mọi số nguyên đều là số tự nhiên. 2. Mệnh đề B: Mọi số tự nhiên đều là số nguyên. 3. Mệnh đề C: Số 0 là số tự nhiên. 4. Mệnh đề D: Số -1 là số tự nhiên. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: 1. Mệnh đề A: Mọi số nguyên đều là số tự nhiên. - Số nguyên bao gồm cả số dương, số âm và số 0. - Số tự nhiên chỉ bao gồm số 0 và các số dương. - Ví dụ: -1 là số nguyên nhưng không phải là số tự nhiên. - Vậy mệnh đề này là sai. 2. Mệnh đề B: Mọi số tự nhiên đều là số nguyên. - Số tự nhiên bao gồm số 0 và các số dương. - Số nguyên bao gồm số 0, các số dương và các số âm. - Vì vậy, mọi số tự nhiên đều là số nguyên. - Vậy mệnh đề này là đúng. 3. Mệnh đề C: Số 0 là số tự nhiên. - Theo định nghĩa, số 0 là số tự nhiên. - Vậy mệnh đề này là đúng. 4. Mệnh đề D: Số -1 là số tự nhiên. - Số tự nhiên không bao gồm các số âm. - Số -1 là số âm, do đó không phải là số tự nhiên. - Vậy mệnh đề này là sai. Từ các lập luận trên, chúng ta thấy rằng mệnh đề A và mệnh đề D là sai. Tuy nhiên, nếu chỉ cần xác định một mệnh đề sai, chúng ta có thể chọn bất kỳ một trong hai. Vậy, mệnh đề sai là: - Mệnh đề A: Mọi số nguyên đều là số tự nhiên. - Hoặc - Mệnh đề D: Số -1 là số tự nhiên. Đáp án: Mệnh đề A hoặc mệnh đề D là sai.