giải chi tiết

Câu 44. Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) sao cho đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) (gọi là \( (C) \)) cắt đường thẳng \( d: y = m(x-1) \) tại ba điểm phân biệt \( x_1, x_2, x_3 \), ta làm như sau: 1. Xác định điều kiện giao điểm: Ta cần tìm các giá trị \( x \) sao cho \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) và \( y = m(x-1) \) bằng nhau: \[ x^3 - 3x^2 + 2 = m(x-1) \] Đặt \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 - m(x-1) \). Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt, phương trình \( f(x) = 0 \) phải có ba nghiệm phân biệt. 2. Tìm đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x - m \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \): Phương trình \( f'(x) = 0 \) là: \[ 3x^2 - 6x - m = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, ta cần tìm điều kiện để nó có hai nghiệm phân biệt: \[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-m) = 36 + 12m > 0 \] Điều này dẫn đến: \[ 12m > -36 \implies m > -3 \] 4. Kiểm tra các giá trị \( m \): - Nếu \( m = -3 \): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2 \] \( f'(x) \geq 0 \) với mọi \( x \), tức là \( f(x) \) là hàm số đồng biến, do đó không thể có ba nghiệm phân biệt. - Nếu \( m > -3 \): Phương trình \( 3x^2 - 6x - m = 0 \) có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \). Ta cần kiểm tra thêm điều kiện để \( f(x) \) có ba nghiệm phân biệt. Điều này đòi hỏi \( f(x) \) phải thay đổi dấu giữa các nghiệm của \( f'(x) \). 5. Kết luận: Do yêu cầu của đề bài là tìm giá trị \( m \) để \( (C) \) cắt \( d \) tại ba điểm phân biệt, ta thấy rằng \( m > -3 \) là điều kiện cần thiết và đủ. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~m > -3} \] Câu 45. Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) sao cho đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 \) cắt đường thẳng \( y = m \) tại ba điểm phân biệt, ta làm như sau: 1. Xác định điều kiện để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt: - Đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 \) cắt đường thẳng \( y = m \) tại ba điểm phân biệt khi phương trình \( x^3 - 3x^2 = m \) có ba nghiệm phân biệt. 2. Xét hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 \): - Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] - Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng xác định: - Khi \( x < 0 \), \( f'(x) > 0 \) nên \( f(x) \) đồng biến. - Khi \( 0 < x < 2 \), \( f'(x) < 0 \) nên \( f(x) \) nghịch biến. - Khi \( x > 2 \), \( f'(x) > 0 \) nên \( f(x) \) đồng biến. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4 \] 5. Xác định giá trị của \( m \) để phương trình \( x^3 - 3x^2 = m \) có ba nghiệm phân biệt: - Để phương trình \( x^3 - 3x^2 = m \) có ba nghiệm phân biệt, giá trị của \( m \) phải nằm trong khoảng giữa giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \( f(x) \). - Do đó, \( m \) phải thuộc khoảng \( (-4, 0) \). Kết luận: Các giá trị thực của tham số \( m \) để đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 \) cắt đường thẳng \( y = m \) tại ba điểm phân biệt là \( m \in (-4, 0) \). Đáp án đúng là: B. \( m \in (-4, 0) \). Câu 46. Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) để đường thẳng \( y = mx - m + 1 \) cắt đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + x + 2 \) tại ba điểm \( A, B, C \) phân biệt sao cho \( AB = BC \), ta làm như sau: 1. Xác định điều kiện giao điểm: Ta cần tìm các giá trị \( x \) sao cho: \[ mx - m + 1 = x^3 - 3x^2 + x + 2 \] Điều này dẫn đến phương trình: \[ x^3 - 3x^2 + (1 - m)x + (m + 1) = 0 \] 2. Tìm nghiệm của phương trình: Gọi ba nghiệm của phương trình trên là \( x_1, x_2, x_3 \). Để \( AB = BC \), ta cần \( x_2 - x_1 = x_3 - x_2 \), tức là \( x_3 = 2x_2 - x_1 \). 3. Áp dụng định lý Viète: Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 + x_3 = 3 \] Thay \( x_3 = 2x_2 - x_1 \) vào, ta được: \[ x_1 + x_2 + (2x_2 - x_1) = 3 \implies 3x_2 = 3 \implies x_2 = 1 \] 4. Thay \( x_2 = 1 \) vào phương trình: Thay \( x = 1 \) vào phương trình ban đầu: \[ 1^3 - 3(1)^2 + (1 - m)(1) + (m + 1) = 0 \implies 1 - 3 + 1 - m + m + 1 = 0 \implies 0 = 0 \] Điều này chứng tỏ \( x = 1 \) là nghiệm của phương trình. 5. Tìm các nghiệm còn lại: Chia đa thức \( x^3 - 3x^2 + (1 - m)x + (m + 1) \) cho \( x - 1 \): \[ x^3 - 3x^2 + (1 - m)x + (m + 1) = (x - 1)(x^2 - 2x - m - 1) \] Phương trình bậc hai \( x^2 - 2x - m - 1 = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. 6. Kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai: Để phương trình \( x^2 - 2x - m - 1 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ \Delta = (-2)^2 - 4(1)(-m - 1) > 0 \implies 4 + 4(m + 1) > 0 \implies 4m + 8 > 0 \implies m > -2 \] 7. Kiểm tra điều kiện \( x_1 \neq 1 \) và \( x_3 \neq 1 \): Thay \( x = 1 \) vào phương trình bậc hai: \[ 1^2 - 2(1) - m - 1 = 0 \implies 1 - 2 - m - 1 = 0 \implies -2 - m = 0 \implies m = -2 \] Điều này không thỏa mãn vì \( m > -2 \). Do đó, các giá trị thực của tham số \( m \) để đường thẳng \( y = mx - m + 1 \) cắt đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + x + 2 \) tại ba điểm \( A, B, C \) phân biệt sao cho \( AB = BC \) là: \[ m \in (-2; +\infty) \] Đáp án đúng là: B. \( m \in (-2; +\infty) \) Câu 47. Để tìm tất cả giá trị của tham số \( m \) sao cho đồ thị hàm số \( y = x^3 + (m^2 - 2)x + 2m^2 + 4 \) cắt các trục tọa độ \( Ox \) và \( Oy \) lần lượt tại \( A \) và \( B \) sao cho diện tích tam giác \( OAB \) bằng 8, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ giao điểm \( A \) và \( B \): - Giao điểm \( B \) với trục \( Oy \) (tức là khi \( x = 0 \)): \[ y = 2m^2 + 4 \] Vậy tọa độ của \( B \) là \( (0, 2m^2 + 4) \). - Giao điểm \( A \) với trục \( Ox \) (tức là khi \( y = 0 \)): \[ 0 = x^3 + (m^2 - 2)x + 2m^2 + 4 \] Điều này có nghĩa là \( x \) phải là nghiệm của phương trình: \[ x^3 + (m^2 - 2)x + 2m^2 + 4 = 0 \] 2. Diện tích tam giác \( OAB \): Diện tích tam giác \( OAB \) được tính bằng công thức: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB \] Trong đó, \( OA \) là khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm \( A \) trên trục \( Ox \), và \( OB \) là khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm \( B \) trên trục \( Oy \). Biết rằng diện tích tam giác \( OAB \) bằng 8, ta có: \[ 8 = \frac{1}{2} \times |x| \times |2m^2 + 4| \] Điều này dẫn đến: \[ 16 = |x| \times |2m^2 + 4| \] 3. Giải phương trình \( x^3 + (m^2 - 2)x + 2m^2 + 4 = 0 \): Để đơn giản hóa, giả sử \( x = -2 \): \[ (-2)^3 + (m^2 - 2)(-2) + 2m^2 + 4 = 0 \] \[ -8 - 2(m^2 - 2) + 2m^2 + 4 = 0 \] \[ -8 - 2m^2 + 4 + 2m^2 + 4 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Vậy \( x = -2 \) là nghiệm của phương trình. 4. Thay \( x = -2 \) vào diện tích tam giác \( OAB \): \[ 16 = |-2| \times |2m^2 + 4| \] \[ 16 = 2 \times |2m^2 + 4| \] \[ 8 = |2m^2 + 4| \] Điều này dẫn đến hai trường hợp: \[ 2m^2 + 4 = 8 \quad \text{hoặc} \quad 2m^2 + 4 = -8 \] Giải phương trình \( 2m^2 + 4 = 8 \): \[ 2m^2 = 4 \] \[ m^2 = 2 \] \[ m = \pm \sqrt{2} \] Giải phương trình \( 2m^2 + 4 = -8 \): \[ 2m^2 = -12 \] Điều này không có nghiệm thực vì \( m^2 \) không thể là số âm. Vậy, giá trị của tham số \( m \) là: \[ m = \pm \sqrt{2} \] Đáp án đúng là: D. \( m = \pm \sqrt{2} \)