Dùng tích phân, chứng minh công thức tính thể tích khối ellipsoid $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =1$ là $V=πabc$.

Để chứng minh công thức tính thể tích khối ellipsoid $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ là $V = \pi abc$, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân. Bước 1: Xác định phương trình của khối ellipsoid Phương trình của khối ellipsoid là: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \] Bước 2: Chuyển đổi sang tọa độ cực Ta sẽ sử dụng phép biến đổi tọa độ để đơn giản hóa việc tính tích phân. Ta đặt: \[ x = a \sin \theta \cos \phi, \quad y = b \sin \theta \sin \phi, \quad z = c \cos \theta \] Trong đó, $\theta$ là góc giữa trục Oz và đường thẳng từ gốc tọa độ đến điểm trên bề mặt ellipsoid, và $\phi$ là góc giữa trục Ox và hình chiếu của đường thẳng đó lên mặt phẳng Oxy. Bước 3: Tính Jacobian của phép biến đổi Jacobian của phép biến đổi này là: \[ J = abc \sin \theta \] Bước 4: Viết biểu thức cho thể tích Thể tích của khối ellipsoid có thể được tính bằng cách tích phân Jacobian trong khoảng thích hợp: \[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} abc \sin \theta \, r^2 \, dr \, d\theta \, d\phi \] Bước 5: Thực hiện tích phân Tích phân theo $r$: \[ \int_{0}^{1} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \] Tích phân theo $\theta$: \[ \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta = \left[ -\cos \theta \right]_{0}^{\pi} = 2 \] Tích phân theo $\phi$: \[ \int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi \] Bước 6: Kết hợp các kết quả Kết hợp các kết quả tích phân, ta có: \[ V = abc \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4}{3} \pi abc \] Do đó, thể tích của khối ellipsoid là: \[ V = \pi abc \] Điều này hoàn thành chứng minh.