giải đúng lên

Bài V. a) Chu vi và diện tích khu vườn hình vuông: - Chu vi khu vườn = Cạnh x 4 \[ = 26 \times 4 = 104 \text{ m} \] - Diện tích khu vườn = Cạnh x Cạnh \[ = 26 \times 26 = 676 \text{ m}^2 \] b) Diện tích phần còn lại để trồng rau sau khi làm lối đi: - Khi làm lối đi rộng 2m xung quanh khu vườn, cạnh của phần còn lại sẽ giảm đi 2 x 2 = 4m từ mỗi phía. \[ Cạnh mới = 26 - 4 = 22 \text{ m} \] - Diện tích phần còn lại để trồng rau: \[ Diện tích phần còn lại = Cạnh mới x Cạnh mới = 22 \times 22 = 484 \text{ m}^2 \] c) Số túi hạt giống rau cần để gieo hết phần diện tích trồng rau: - Số túi hạt giống rau cần ít nhất: \[ Số túi = \frac{Diện tích phần còn lại}{Diện tích mà 1 túi hạt giống rau gieo được} = \frac{484}{15} \approx 32.27 \] Vì số túi phải là số nguyên, nên ta cần ít nhất 33 túi hạt giống rau. Đáp số: a) Chu vi: 104 m; Diện tích: 676 m² b) Diện tích phần còn lại để trồng rau: 484 m² c) Số túi hạt giống rau cần ít nhất: 33 túi Bài VI. Để chứng minh rằng \( S = 5^{2022} + 5^{2023} + 5^{2024} \) chia hết cho 31, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhận thấy rằng \( 5^5 = 3125 \), mà \( 3125 \equiv 1 \pmod{31} \). Điều này có nghĩa là \( 5^5 \) chia cho 31 dư 1. Bước 2: Ta sẽ nhóm các số hạng của \( S \) thành các nhóm có số mũ là bội của 5: \[ S = 5^{2022} + 5^{2023} + 5^{2024} \] Bước 3: Ta viết lại các số mũ theo dạng bội của 5: \[ 2022 = 5 \times 404 + 2 \] \[ 2023 = 5 \times 404 + 3 \] \[ 2024 = 5 \times 404 + 4 \] Do đó: \[ 5^{2022} = (5^5)^{404} \times 5^2 \] \[ 5^{2023} = (5^5)^{404} \times 5^3 \] \[ 5^{2024} = (5^5)^{404} \times 5^4 \] Bước 4: Ta biết rằng \( 5^5 \equiv 1 \pmod{31} \), nên: \[ (5^5)^{404} \equiv 1^{404} \equiv 1 \pmod{31} \] Vậy: \[ 5^{2022} \equiv 1 \times 5^2 \equiv 25 \pmod{31} \] \[ 5^{2023} \equiv 1 \times 5^3 \equiv 125 \equiv 1 \pmod{31} \] \[ 5^{2024} \equiv 1 \times 5^4 \equiv 625 \equiv 1 \pmod{31} \] Bước 5: Ta cộng các kết quả trên: \[ S \equiv 25 + 1 + 1 \equiv 27 \pmod{31} \] Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại vì có thể đã có lỗi trong quá trình tính toán. Ta sẽ kiểm tra lại bằng cách sử dụng phương pháp khác. Bước 6: Ta sử dụng phương pháp phân tích thừa số chung: \[ S = 5^{2022} + 5^{2023} + 5^{2024} \] \[ S = 5^{2022}(1 + 5 + 5^2) \] \[ S = 5^{2022}(1 + 5 + 25) \] \[ S = 5^{2022} \times 31 \] Ta thấy rằng \( S \) có thừa số 31, do đó \( S \) chia hết cho 31. Kết luận: \( S \vdots 31 \). Đáp số: \( S \vdots 31 \).