Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a. cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt đây. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD.

a) Hai vecto AB. CD là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

b) Góc giữa hai vecto SC và AC bằng 60°.

c) Tích vô hướng AM. AB= a²/2

d) Độ dài của vecto AM - AN là a căn 5/2

Question

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a. cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt đây. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD.

a) Hai vecto AB. CD là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

b) Góc giữa hai vecto SC và AC bằng 60°.

c) Tích vô hướng AM. AB= a²/2

d) Độ dài của vecto AM - AN là a căn 5/2

anonymous · Accepted Answer

Hai vectơ AB và CD là hai vectơ cùng phương, cùng hướng vì ABCD là hình chữ nhật, do đó AB // CD và AB và CD cùng hướng.

Timi · Answer

Câu 3.
a) Hai vectơ AB và CD là hai vectơ cùng phương, cùng hướng vì ABCD là hình chữ nhật, do đó AB // CD và AB và CD cùng hướng.

b) Ta có $\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}$. 
Ta tính $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AC} = 0$ vì SA vuông góc với mặt đáy ABCD, do đó SA vuông góc với AC.
Ta tính $\overrightarrow{AC}^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2$, suy ra $|\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{5}$.
Ta tính $\overrightarrow{SC}^2 = \overrightarrow{SA}^2 + \overrightarrow{AC}^2 = a^2 + 5a^2 = 6a^2$, suy ra $|\overrightarrow{SC}| = a\sqrt{6}$.
Ta tính $\cos(\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{SC}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{5a^2}{a\sqrt{6} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$.
Do đó góc giữa hai vectơ SC và AC không bằng 60°.

c) Ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AS} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$.
Ta tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2}(0 + a^2 + 0) = \frac{a^2}{2}$.

d) Ta có $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AS} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AS} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD})$.
Ta tính $(\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN})^2 = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD})^2 = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}^2 - 2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}^2) = \frac{1}{4}(a^2 - 0 + 4a^2) = \frac{5a^2}{4}$.
Do đó $|\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}| = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Lương Vũ · Answer

{"userId":5306073,"userName":"Đăng Khôi"}

Để giải bài toán về hình chóp S.ABCD với các điều kiện cho trước, ta sẽ phân tích từng câu trắc nghiệm và đưa ra kết luận. ### Hình chóp S.ABCD - Đáy ABCD là hình chữ nhật với: - Cạnh AB = a - Cạnh AD = 2a - Đỉnh S có SA = a và vuông góc với mặt đáy. - M, N là trung điểm của các cạnh SB, SD. ### Tọa độ của các điểm Ta có thể xác định tọa độ của các điểm trong không gian: - $ A(0, 0, 0) $ - $ B(a, 0, 0) $ - $ C(a, 2a, 0) $ - $ D(0, 2a, 0) $ - $ S(0, a, a) $ (vì SA = a và vuông góc với mặt đáy) ### Tính toán và phân tích các câu trắc nghiệm #### a) Hai vectơ AB và CD - $ \vec{AB} = B - A = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0) $ - $ \vec{CD} = D - C = (0, 2a, 0) - (a, 2a, 0) = (-a, 0, 0) $ Hai vectơ này là: - $ \vec{AB} $ và $ \vec{CD} $ cùng phương nhưng ngược hướng. - **Kết luận**: **Sai** (do cùng phương, nhưng không cùng hướng). #### b) Góc giữa hai vectơ SC và AC - $ \vec{SC} = C - S = (a, 2a, 0) - (0, a, a) = (a, a, -a) $ - $ \vec{AC} = C - A = (a, 2a, 0) - (0, 0, 0) = (a, 2a, 0) $ Tính góc giữa hai vectơ: - Tích vô hướng: $$ \vec{SC} \cdot \vec{AC} = a \cdot a + a \cdot 2a + (-a) \cdot 0 = a^2 + 2a^2 = 3a^2 $$ - Độ dài: $$ |\vec{SC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3} $$ $$ |\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = a\sqrt{5} $$ - Góc giữa hai vectơ: $$ \cos \theta = \frac{\vec{SC} \cdot \vec{AC}}{|\vec{SC}| |\vec{AC}|} = \frac{3a^2}{a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{5} $$ Góc này không phải là 60°. - **Kết luận**: **Sai**. #### c) Tích vô hướng AM và AB - $ \vec{M} = \frac{1}{2}(S + B) = \frac{1}{2}((0, a, a) + (a, 0, 0)) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) $ - Tính $ \vec{AM} = M - A = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) - (0, 0, 0) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) $ Tính tích vô hướng: $$ \vec{AM} \cdot \vec{AB} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \cdot (a, 0, 0) = \frac{a}{2} \cdot a + \frac{a}{2} \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot 0 = \frac{a^2}{2} $$ - **Kết luận**: **Đúng**. #### d) Độ dài của vectơ AM - AN - $ \vec{N} = \frac{1}{2}(S + D) = \frac{1}{2}((0, a, a) + (0, 2a, 0)) = \left(0, \frac{3a}{2}, \frac{a}{2}\right) $ - Tính $ \vec{AN} = N - A = \left(0, \frac{3a}{2}, \frac{a}{2}\right) - (0, 0, 0) = \left(0, \frac{3a}{2}, \frac{a}{2}\right) $ Tính độ dài $ \vec{AM} - \vec{AN} $: $$ |\vec{AM} - \vec{AN}| = |\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) - \left(0, \frac{3a}{2}, \frac{a}{2}\right)| = \left(\frac{a}{2}, -a, 0\right) $$ $$ |\vec{AM} - \vec{AN}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = a \frac{\sqrt{5}}{2} $$ Vì vậy, độ dài của vectơ AM - AN là $ a \frac{\sqrt{5}}{2} $. - **Kết luận**: **Đúng**. ### Tóm tắt kết quả a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a. cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt đây. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. a) Hai vecto AB...