Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = -x3 - mx² + (2m-3)x - m + 2 nghịch biến trên IR.

Câu 24. Để hàm số y = -x³ - mx² + (2m-3)x - m + 2 nghịch biến trên R, ta cần tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên R. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. y' = (-x³ - mx² + (2m-3)x - m + 2)' y' = -3x² - 2mx + (2m-3) Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên R, đạo hàm y' phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên R. -3x² - 2mx + (2m-3) ≤ 0 Bước 3: Xét dấu của biểu thức -3x² - 2mx + (2m-3). Đây là một tam thức bậc hai, ta cần tìm các giá trị của m sao cho tam thức này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên R. Bước 4: Điều kiện để tam thức bậc hai luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 là: - Hệ số của x² phải nhỏ hơn 0 (ở đây là -3 < 0). - Đạo hàm của tam thức phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0. Ta xét tam thức f(x) = -3x² - 2mx + (2m-3). Để f(x) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, ta cần: - f(x) có đỉnh hướng xuống (điều kiện đã thỏa mãn vì hệ số của x² là -3 < 0). - f(x) không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép (điều kiện này tương đương với biệt số Δ ≤ 0). Bước 5: Tính biệt số Δ của tam thức f(x). Δ = b² - 4ac Ở đây, a = -3, b = -2m, c = 2m-3. Δ = (-2m)² - 4(-3)(2m-3) Δ = 4m² + 24m - 36 Bước 6: Để f(x) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, ta cần Δ ≤ 0. 4m² + 24m - 36 ≤ 0 m² + 6m - 9 ≤ 0 Bước 7: Giải bất phương trình m² + 6m - 9 ≤ 0. Ta giải phương trình m² + 6m - 9 = 0 để tìm các nghiệm. m² + 6m - 9 = 0 (m + 3)² - 18 = 0 (m + 3)² = 18 m + 3 = ±√18 m = -3 ± √18 m = -3 ± 3√2 Vậy các nghiệm của phương trình là m = -3 + 3√2 và m = -3 - 3√2. Bước 8: Xác định khoảng giá trị của m sao cho m² + 6m - 9 ≤ 0. Ta vẽ đồ thị của hàm số g(m) = m² + 6m - 9 và tìm các khoảng giá trị của m sao cho g(m) ≤ 0. Kết luận: Các giá trị thực của tham số m để hàm số y = -x³ - mx² + (2m-3)x - m + 2 nghịch biến trên R là: -3 - 3√2 ≤ m ≤ -3 + 3√2 Đáp số: \[-3 - 3\sqrt{2} \leq m \leq -3 + 3\sqrt{2}\]