hai công nhân phải làm số sản phẩm như nhau trong cùng một thời gian thực tế nếu người thứ nhất mỗi giờ làm tăng thêm hai sản phẩm thì sẽ làm xong sớm hơn dự định 2 giờ người thứ hai mỗi giờ làm tăng t...

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mỗi công nhân phải làm là x (sản phẩm). Gọi thời gian thực tế để hoàn thành công việc là t (giờ). Số sản phẩm người thứ nhất làm trong 1 giờ là $\frac{x}{t}$ (sản phẩm/giờ). Nếu người thứ nhất mỗi giờ làm tăng thêm 2 sản phẩm thì mỗi giờ người này sẽ làm được $\frac{x}{t} + 2$ (sản phẩm/giờ). Thời gian để hoàn thành công việc khi tăng năng suất là $\frac{x}{\frac{x}{t} + 2}$ (giờ). Theo đề bài, thời gian này ít hơn thời gian thực tế 2 giờ, tức là: \[ \frac{x}{\frac{x}{t} + 2} = t - 2 \] Số sản phẩm người thứ hai làm trong 1 giờ là $\frac{x}{t}$ (sản phẩm/giờ). Nếu người thứ hai mỗi giờ làm tăng thêm 4 sản phẩm thì mỗi giờ người này sẽ làm được $\frac{x}{t} + 4$ (sản phẩm/giờ). Thời gian để hoàn thành công việc khi tăng năng suất là $\frac{x}{\frac{x}{t} + 4}$ (giờ). Theo đề bài, thời gian này ít hơn thời gian thực tế 3 giờ, tức là: \[ \frac{x}{\frac{x}{t} + 4} = t - 3 \] Bây giờ, ta có hai phương trình: 1. \(\frac{x}{\frac{x}{t} + 2} = t - 2\) 2. \(\frac{x}{\frac{x}{t} + 4} = t - 3\) Ta sẽ giải từng phương trình này. Từ phương trình đầu tiên: \[ \frac{x}{\frac{x}{t} + 2} = t - 2 \] Nhân cả hai vế với \(\frac{x}{t} + 2\): \[ x = (t - 2)\left(\frac{x}{t} + 2\right) \] Mở ngoặc: \[ x = (t - 2)\frac{x}{t} + 2(t - 2) \] Nhân cả hai vế với \(t\): \[ xt = x(t - 2) + 2t(t - 2) \] Rearrange terms: \[ xt = xt - 2x + 2t^2 - 4t \] Subtract \(xt\) from both sides: \[ 0 = -2x + 2t^2 - 4t \] Rearrange to solve for \(x\): \[ 2x = 2t^2 - 4t \] Divide by 2: \[ x = t^2 - 2t \] Từ phương trình thứ hai: \[ \frac{x}{\frac{x}{t} + 4} = t - 3 \] Nhân cả hai vế với \(\frac{x}{t} + 4\): \[ x = (t - 3)\left(\frac{x}{t} + 4\right) \] Mở ngoặc: \[ x = (t - 3)\frac{x}{t} + 4(t - 3) \] Nhân cả hai vế với \(t\): \[ xt = x(t - 3) + 4t(t - 3) \] Rearrange terms: \[ xt = xt - 3x + 4t^2 - 12t \] Subtract \(xt\) from both sides: \[ 0 = -3x + 4t^2 - 12t \] Rearrange to solve for \(x\): \[ 3x = 4t^2 - 12t \] Divide by 3: \[ x = \frac{4t^2 - 12t}{3} \] Bây giờ ta có hai biểu thức cho \(x\): 1. \(x = t^2 - 2t\) 2. \(x = \frac{4t^2 - 12t}{3}\) Đặt chúng bằng nhau: \[ t^2 - 2t = \frac{4t^2 - 12t}{3} \] Nhân cả hai vế với 3: \[ 3(t^2 - 2t) = 4t^2 - 12t \] Mở ngoặc: \[ 3t^2 - 6t = 4t^2 - 12t \] Rearrange terms: \[ 3t^2 - 6t - 4t^2 + 12t = 0 \] Combine like terms: \[ -t^2 + 6t = 0 \] Factor out \(t\): \[ t(-t + 6) = 0 \] Solve for \(t\): \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 6 \] Vì thời gian thực tế không thể là 0, nên \(t = 6\). Thay \(t = 6\) vào biểu thức \(x = t^2 - 2t\): \[ x = 6^2 - 2 \cdot 6 = 36 - 12 = 24 \] Vậy số sản phẩm theo kế hoạch mỗi công nhân phải làm là 24 sản phẩm. Đáp số: 24 sản phẩm.