xét tính bị chặn của dãy số

Để xét tính bị chặn của dãy số \( u_n = \frac{n^2 + 2n}{n^2 + n + 1} \), chúng ta sẽ tìm giới hạn của dãy số này khi \( n \) tiến đến vô cùng. Bước 1: Tìm giới hạn của dãy số \( u_n \) khi \( n \) tiến đến vô cùng. \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n}{n^2 + n + 1} \] Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \] Khi \( n \) tiến đến vô cùng, các phân số \( \frac{2}{n} \), \( \frac{1}{n} \), và \( \frac{1}{n^2} \) đều tiến đến 0: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 + 0}{1 + 0 + 0} = 1 \] Bước 2: Xác định tính bị chặn của dãy số. Vì giới hạn của dãy số \( u_n \) khi \( n \) tiến đến vô cùng là 1, nên dãy số \( u_n \) bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi 0 (vì \( u_n > 0 \) cho mọi \( n \)). Do đó, dãy số \( u_n = \frac{n^2 + 2n}{n^2 + n + 1} \) bị chặn. Kết luận: Dãy số \( u_n = \frac{n^2 + 2n}{n^2 + n + 1} \) bị chặn.