Toánnnnn 12 Câu 2.Một sợi dây dài 20 mét được cắt thành hai phần, sau đó,uốn các phần đó thành đường tròn và một hình vuông. Hỏi,tổng diện tích của hình tròn và hình vuông nhỏ nhất bao,nhiêu?

Question

Accepted Answer

Gọi $\displaystyle x$ là chiều dài phần dây được uốn thành đường tròn
$\displaystyle \Longrightarrow 20-x$ là chiều dài phần dây được uốn thành hình vuông
Chu vi tròn $\displaystyle =2\pi r\Leftrightarrow x=2\pi r\Leftrightarrow r=\frac{x}{2\pi }$
Diện tích tròn $\displaystyle =\pi r^{2} =\pi \left(\frac{x}{2\pi } ight)^{2} =\frac{x^{2}}{4\pi }$
Cạnh của hình vuông là $\displaystyle \frac{20-x}{4}$
$\displaystyle \Longrightarrow $Diện tích hình vuông $\displaystyle \left(\frac{20-x}{4} ight)^{2}$
Tổng diện tích là $\displaystyle \frac{x^{2}}{4\pi } +\ \left(\frac{20-x}{4} ight)^{2}$
Đặt $\displaystyle f( x) =\frac{x^{2}}{4\pi } +\ \left(\frac{20-x}{4} ight)^{2}$
$\displaystyle \Longrightarrow f'( x) =\frac{x}{2\pi } +\frac{x}{8} -\frac{5}{2}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
f'( x) =0\Leftrightarrow \frac{x}{2\pi } +\frac{x}{8} -\frac{5}{2} =0\
\Leftrightarrow \frac{x}{2\pi } +\frac{x}{8} =\frac{5}{2}\
\Leftrightarrow \frac{8x+2\pi x}{16\pi } =\frac{5}{2}\
\Leftrightarrow x=\frac{50\pi }{16+4\pi }
\end{array}$
$\displaystyle \Longrightarrow $Diện tích nhỏ nhất $\displaystyle \frac{\left(\frac{50\pi }{16+4\pi } ight)^{2}}{4\pi } +\ \left(\frac{20-\frac{50\pi }{16+4\pi }}{4} ight)^{2} \approx 15,54$