Toánnnnn 12

Câu 2. Gọi bán kính đường tròn là $r$ (m), cạnh hình vuông là $a$ (m). Ta có: $2 \pi r + 4a = 20$. Diện tích tổng của đường tròn và hình vuông là: \[ S = \pi r^2 + a^2 \] Từ $2 \pi r + 4a = 20$, ta có: \[ a = \frac{20 - 2\pi r}{4} = 5 - \frac{\pi r}{2} \] Thay vào công thức diện tích tổng, ta có: \[ S = \pi r^2 + \left(5 - \frac{\pi r}{2}\right)^2 \] \[ S = \pi r^2 + 25 - 5\pi r + \frac{\pi^2 r^2}{4} \] \[ S = \left(\pi + \frac{\pi^2}{4}\right)r^2 - 5\pi r + 25 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$, ta tính đạo hàm của $S$ theo $r$: \[ \frac{dS}{dr} = 2\left(\pi + \frac{\pi^2}{4}\right)r - 5\pi \] Đặt $\frac{dS}{dr} = 0$, ta có: \[ 2\left(\pi + \frac{\pi^2}{4}\right)r - 5\pi = 0 \] \[ 2\left(\pi + \frac{\pi^2}{4}\right)r = 5\pi \] \[ r = \frac{5\pi}{2\left(\pi + \frac{\pi^2}{4}\right)} = \frac{5\pi}{2\pi + \frac{\pi^2}{2}} = \frac{5\pi}{\frac{4\pi + \pi^2}{2}} = \frac{10\pi}{4\pi + \pi^2} = \frac{10}{4 + \pi} \] Thay $r = \frac{10}{4 + \pi}$ vào công thức diện tích tổng, ta có: \[ S = \pi \left(\frac{10}{4 + \pi}\right)^2 + \left(5 - \frac{\pi}{2} \cdot \frac{10}{4 + \pi}\right)^2 \] \[ S = \pi \left(\frac{100}{(4 + \pi)^2}\right) + \left(5 - \frac{5\pi}{4 + \pi}\right)^2 \] \[ S = \frac{100\pi}{(4 + \pi)^2} + \left(\frac{5(4 + \pi) - 5\pi}{4 + \pi}\right)^2 \] \[ S = \frac{100\pi}{(4 + \pi)^2} + \left(\frac{20}{4 + \pi}\right)^2 \] \[ S = \frac{100\pi}{(4 + \pi)^2} + \frac{400}{(4 + \pi)^2} \] \[ S = \frac{100\pi + 400}{(4 + \pi)^2} \] \[ S = \frac{100(\pi + 4)}{(4 + \pi)^2} \] \[ S = \frac{100}{4 + \pi} \] Vậy tổng diện tích của hình tròn và hình vuông nhỏ nhất là $\frac{100}{4 + \pi}$ mét vuông.