giải giúp mình vs

Câu 3: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{1 + 2x^2}{x} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{1 + 2x^2}{x} = \frac{1}{x} + 2x \] Nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \) là \( \ln|x| \) và nguyên hàm của \( 2x \) là \( x^2 \). Do đó: \[ F(x) = \int \left( \frac{1}{x} + 2x \right) dx = \ln|x| + x^2 + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(-1) = 3 \). \[ F(-1) = \ln|-1| + (-1)^2 + C = 3 \] \[ \ln(1) + 1 + C = 3 \] \[ 0 + 1 + C = 3 \] \[ C = 2 \] Bước 3: Viết phương trình nguyên hàm cuối cùng. \[ F(x) = \ln|x| + x^2 + 2 \] Vậy, nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{1 + 2x^2}{x} \) thỏa mãn điều kiện \( F(-1) = 3 \) là: \[ F(x) = \ln|x| + x^2 + 2 \] Câu 4: Để tìm $F(x)$, ta cần tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{2x + 1}$. Ta thực hiện như sau: 1. Tìm nguyên hàm của $\frac{1}{2x + 1}$: Ta có: \[ F(x) = \int \frac{1}{2x + 1} \, dx \] Áp dụng phương pháp đổi biến, đặt $u = 2x + 1$, suy ra $du = 2 \, dx$ hay $dx = \frac{1}{2} \, du$. Do đó: \[ F(x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| + C \] Thay trở lại $u = 2x + 1$, ta có: \[ F(x) = \frac{1}{2} \ln |2x + 1| + C \] 2. Xác định hằng số $C$: Theo đề bài, ta biết $F(0) = 2$. Thay vào ta có: \[ F(0) = \frac{1}{2} \ln |2 \cdot 0 + 1| + C = 2 \] \[ \frac{1}{2} \ln 1 + C = 2 \] Vì $\ln 1 = 0$, nên: \[ C = 2 \] Vậy, $F(x)$ là: \[ F(x) = \frac{1}{2} \ln |2x + 1| + 2 \] 3. Tính $F(e)$: Thay $x = e$ vào $F(x)$, ta có: \[ F(e) = \frac{1}{2} \ln |2e + 1| + 2 \] Kết quả cuối cùng là: \[ F(e) = \frac{1}{2} \ln (2e + 1) + 2 \] Đáp số: $F(e) = \frac{1}{2} \ln (2e + 1) + 2$ Câu 5: Ta có $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x-1 & khi~x\geq1 \\ 3x^2-2 & khi~x<1 \end{array}\right.$ Do đó, ta tìm nguyên hàm của f(x) trên từng khoảng: - Khi $x \geq 1$, ta có $f(x) = 2x - 1$. Nguyên hàm của f(x) là: \[ F(x) = \int (2x - 1) \, dx = x^2 - x + C_1 \] - Khi $x < 1$, ta có $f(x) = 3x^2 - 2$. Nguyên hàm của f(x) là: \[ F(x) = \int (3x^2 - 2) \, dx = x^3 - 2x + C_2 \] Biết rằng $F(0) = 2$, ta thay vào để tìm $C_2$: \[ F(0) = 0^3 - 2 \cdot 0 + C_2 = 2 \] \[ C_2 = 2 \] Vậy, ta có: \[ F(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^2 - x + C_1 & khi~x \geq 1 \\ x^3 - 2x + 2 & khi~x < 1 \end{array}\right. \] Để đảm bảo liên tục tại điểm $x = 1$, ta cần: \[ \lim_{x \to 1^-} F(x) = \lim_{x \to 1^+} F(x) \] \[ 1^3 - 2 \cdot 1 + 2 = 1^2 - 1 + C_1 \] \[ 1 = 0 + C_1 \] \[ C_1 = 1 \] Vậy, ta có: \[ F(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^2 - x + 1 & khi~x \geq 1 \\ x^3 - 2x + 2 & khi~x < 1 \end{array}\right. \] Bây giờ, ta tính $F(-1)$ và $F(2)$: \[ F(-1) = (-1)^3 - 2(-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 \] \[ F(2) = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3 \] Cuối cùng, ta tính $F(-1) + 2F(2)$: \[ F(-1) + 2F(2) = 3 + 2 \cdot 3 = 3 + 6 = 9 \] Đáp số: $9$ Câu 6: Để tìm $f(x)$, ta tích phân đạo hàm $f'(x)$: \[ f(x) = \int (6x^2 - 2) \, dx = 2x^3 - 2x + C \] Ta biết rằng $f(0) = 1$, do đó: \[ f(0) = 2(0)^3 - 2(0) + C = 1 \] \[ C = 1 \] Vậy hàm số $f(x)$ là: \[ f(x) = 2x^3 - 2x + 1 \] Tiếp theo, để tìm $F(x)$, ta tích phân $f(x)$: \[ F(x) = \int (2x^3 - 2x + 1) \, dx = \frac{1}{2}x^4 - x^2 + x + D \] Ta biết rằng $F(2) = 0$, do đó: \[ F(2) = \frac{1}{2}(2)^4 - (2)^2 + 2 + D = 0 \] \[ \frac{1}{2}(16) - 4 + 2 + D = 0 \] \[ 8 - 4 + 2 + D = 0 \] \[ 6 + D = 0 \] \[ D = -6 \] Vậy nguyên hàm $F(x)$ là: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2 + x - 6 \] Cuối cùng, ta tính $F(4)$: \[ F(4) = \frac{1}{2}(4)^4 - (4)^2 + 4 - 6 \] \[ F(4) = \frac{1}{2}(256) - 16 + 4 - 6 \] \[ F(4) = 128 - 16 + 4 - 6 \] \[ F(4) = 110 \] Đáp số: $F(4) = 110$. Câu 7: a) Ta có $f(x)=\frac{x^2+3x+2}x=x+3+\frac 2x.$ Một họ nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)=\frac{x^2}2+3x+2\ln |x|+C.$ b) Ta có $f(x)=\frac{x^2+3x+1}{\sqrt x}=x^{\frac 32}+3x^{\frac 12}+x^{-\frac 12}.$ Một họ nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)=\frac 25x^{\frac 52}+2x^{\frac 32}+2x^{\frac 12}+C.$ Câu 8: Để tính giá trị biểu thức $f(-3) + f(3)$, ta cần tìm hiểu về hàm số $f(x)$ thông qua đạo hàm của nó. Ta có: \[ f'(x) = \frac{3x^3 + 1}{x} \] Ta sẽ tìm nguyên hàm của $f'(x)$ để suy ra $f(x)$. \[ f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \left( \frac{3x^3 + 1}{x} \right) \, dx \] Phân tích biểu thức trong dấu tích phân: \[ f(x) = \int \left( 3x^2 + \frac{1}{x} \right) \, dx \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ f(x) = \int 3x^2 \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx \] \[ f(x) = x^3 + \ln|x| + C \] Trong đó, $C$ là hằng số tích phân. Bây giờ, ta sử dụng các điều kiện ban đầu để xác định hằng số $C$. Ta có: \[ f(1) = 2 \] \[ f(1) = 1^3 + \ln|1| + C = 1 + 0 + C = 1 + C \] \[ 1 + C = 2 \] \[ C = 1 \] Do đó, hàm số $f(x)$ là: \[ f(x) = x^3 + \ln|x| + 1 \] Tiếp theo, ta tính $f(-3)$ và $f(3)$: \[ f(-3) = (-3)^3 + \ln|-3| + 1 = -27 + \ln 3 + 1 = -26 + \ln 3 \] \[ f(3) = 3^3 + \ln|3| + 1 = 27 + \ln 3 + 1 = 28 + \ln 3 \] Cuối cùng, ta tính tổng $f(-3) + f(3)$: \[ f(-3) + f(3) = (-26 + \ln 3) + (28 + \ln 3) \] \[ f(-3) + f(3) = -26 + 28 + \ln 3 + \ln 3 \] \[ f(-3) + f(3) = 2 + 2\ln 3 \] Vậy giá trị biểu thức $f(-3) + f(3)$ là: \[ \boxed{2 + 2\ln 3} \] Câu 9: Để tìm hàm số \( y = f(x) \) biết rằng \( f'(x) = 3x^2 + 2x - m + 1 \), \( f(2) = 1 \) và đồ thị của hàm số \( y = f(x) \) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm \( f(x) \) từ \( f'(x) \): Ta có: \[ f'(x) = 3x^2 + 2x - m + 1 \] Tích phân hai vế để tìm \( f(x) \): \[ f(x) = \int (3x^2 + 2x - m + 1) \, dx \] \[ f(x) = x^3 + x^2 - mx + x + C \] \[ f(x) = x^3 + x^2 - mx + x + C \] 2. Xác định \( C \) từ điều kiện \( f(0) = -5 \): Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5, tức là \( f(0) = -5 \). Thay \( x = 0 \) vào \( f(x) \): \[ f(0) = 0^3 + 0^2 - m \cdot 0 + 0 + C = -5 \] \[ C = -5 \] 3. Xác định \( m \) từ điều kiện \( f(2) = 1 \): Thay \( x = 2 \) và \( f(2) = 1 \) vào \( f(x) \): \[ f(2) = 2^3 + 2^2 - m \cdot 2 + 2 - 5 = 1 \] \[ 8 + 4 - 2m + 2 - 5 = 1 \] \[ 9 - 2m = 1 \] \[ -2m = 1 - 9 \] \[ -2m = -8 \] \[ m = 4 \] 4. Viết lại hàm số \( f(x) \) hoàn chỉnh: Thay \( m = 4 \) và \( C = -5 \) vào \( f(x) \): \[ f(x) = x^3 + x^2 - 4x + x - 5 \] \[ f(x) = x^3 + x^2 - 3x - 5 \] Vậy hàm số \( y = f(x) \) là: \[ f(x) = x^3 + x^2 - 3x - 5 \] Câu 10: Để tìm giá trị của tham số \( m \) sao cho \( F(x) \) là nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} + m - 1 \) và thỏa mãn điều kiện \( F(0) = 0 \) và \( F(3) = 7 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \). \[ F(x) = \int \left( \frac{1}{2\sqrt{x+1}} + m - 1 \right) dx \] Bước 2: Tính nguyên hàm từng phần. \[ \int \frac{1}{2\sqrt{x+1}} dx = \frac{1}{2} \int (x+1)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \cdot 2(x+1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x+1} \] \[ \int (m - 1) dx = (m - 1)x \] Do đó, \[ F(x) = \sqrt{x+1} + (m - 1)x + C \] Bước 3: Áp dụng điều kiện \( F(0) = 0 \) để tìm hằng số \( C \). \[ F(0) = \sqrt{0+1} + (m - 1) \cdot 0 + C = 1 + C = 0 \] \[ C = -1 \] Bước 4: Thay \( C = -1 \) vào \( F(x) \). \[ F(x) = \sqrt{x+1} + (m - 1)x - 1 \] Bước 5: Áp dụng điều kiện \( F(3) = 7 \) để tìm giá trị của \( m \). \[ F(3) = \sqrt{3+1} + (m - 1) \cdot 3 - 1 = 7 \] \[ \sqrt{4} + 3(m - 1) - 1 = 7 \] \[ 2 + 3(m - 1) - 1 = 7 \] \[ 1 + 3(m - 1) = 7 \] \[ 3(m - 1) = 6 \] \[ m - 1 = 2 \] \[ m = 3 \] Vậy giá trị của tham số \( m \) là \( m = 3 \). Câu 11: Để tìm số lượng vi khuẩn sau 3 ngày, ta cần biết tốc độ tăng trưởng của vi khuẩn theo thời gian. Tuy nhiên, công thức cho tốc độ tăng trưởng $f(t)$ chỉ cho ta biết tốc độ tăng trưởng tại mỗi thời điểm $t$, chứ không phải số lượng vi khuẩn tại thời điểm đó. Do đó, ta cần tìm hàm số biểu diễn số lượng vi khuẩn theo thời gian. Gọi số lượng vi khuẩn sau $t$ ngày là $N(t)$. Ta có: \[ f(t) = \frac{dN}{dt} = \frac{300}{0,25t} = \frac{1200}{t} \] Để tìm $N(t)$, ta cần tích phân phương trình trên: \[ N(t) = \int \frac{1200}{t} \, dt = 1200 \ln|t| + C \] Biết rằng khi $t = 1$, số lượng vi khuẩn là 1000 con, ta có: \[ N(1) = 1200 \ln|1| + C = 1000 \] \[ 1200 \cdot 0 + C = 1000 \] \[ C = 1000 \] Vậy hàm số biểu diễn số lượng vi khuẩn theo thời gian là: \[ N(t) = 1200 \ln|t| + 1000 \] Bây giờ, ta cần tìm số lượng vi khuẩn sau 3 ngày, tức là $N(3)$: \[ N(3) = 1200 \ln|3| + 1000 \] Ta tính $\ln|3|$: \[ \ln|3| \approx 1,0986 \] Do đó: \[ N(3) = 1200 \times 1,0986 + 1000 \] \[ N(3) \approx 1318,32 + 1000 \] \[ N(3) \approx 2318,32 \] Viết dưới dạng phân số: \[ N(3) \approx 2318 \frac{32}{100} = 2318 \frac{8}{25} \] Vậy sau 3 ngày, số lượng vi khuẩn là khoảng 2318 con.