Giup minh nhe Câu 3,Cho hàm số $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có đồ,thị là (C). Biết CC) óó một điểm ựực rị ll,$A(1;-1)$ và tắm đối xứng là $I(\frac23;-\frac{29}{27})$ Giá,trị biểu thức $S=a+b+c+d$ bằng bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm các hệ số $a$, $b$, $c$, và $d$ của hàm số $f(x)$:

- Ta biết rằng điểm cực trị của hàm số $f(x)$ là $A(1, -1)$. Điều này có nghĩa là $f(1) = -1$ và $f&#x27;(1) = 0$.
   - Ta cũng biết rằng tâm đối xứng của đồ thị là $I\left(\frac{2}{3}, -\frac{29}{27}\right)$. Điều này có nghĩa là $f\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{29}{27}$.

2. Tính đạo hàm của $f(x)$:

$$
   f&#x27;(x) = 3ax^2 + 2bx + c
   $$

3. Áp dụng điều kiện cực trị tại điểm $A(1, -1)$:

- $f(1) = -1$:
     $$
     a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = -1 \implies a + b + c + d = -1 \quad \text{(1)}
     $$
   - $f&#x27;(1) = 0$:
     $$
     3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0 \implies 3a + 2b + c = 0 \quad \text{(2)}
     $$

4. Áp dụng điều kiện tâm đối xứng tại điểm $I\left(\frac{2}{3}, -\frac{29}{27}\right)$:

- $f\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{29}{27}$:
     $$
     a\left(\frac{2}{3}\right)^3 + b\left(\frac{2}{3}\right)^2 + c\left(\frac{2}{3}\right) + d = -\frac{29}{27}
     $$
     $$
     a\left(\frac{8}{27}\right) + b\left(\frac{4}{9}\right) + c\left(\frac{2}{3}\right) + d = -\frac{29}{27} \quad \text{(3)}
     $$

5. Giải hệ phương trình để tìm $a$, $b$, $c$, và $d$:

- Từ phương trình (1):
     $$
     a + b + c + d = -1
     $$
   - Từ phương trình (2):
     $$
     3a + 2b + c = 0
     $$
   - Từ phương trình (3):
     $$
     \frac{8a}{27} + \frac{4b}{9} + \frac{2c}{3} + d = -\frac{29}{27}
     $$

Chúng ta có ba phương trình với bốn ẩn số. Để giải quyết, chúng ta cần thêm một phương trình nữa. Ta có thể sử dụng tính chất tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba, đó là tâm đối xứng nằm trên trục đối xứng của đồ thị. Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ là $x = -\frac{b}{3a}$. Do đó:
   $$
   -\frac{b}{3a} = \frac{2}{3} \implies b = -2a \quad \text{(4)}
   $$

6. Thay $b = -2a$ vào các phương trình:

- Thay vào phương trình (2):
     $$
     3a + 2(-2a) + c = 0 \implies 3a - 4a + c = 0 \implies -a + c = 0 \implies c = a
     $$
   - Thay vào phương trình (1):
     $$
     a + (-2a) + a + d = -1 \implies 0 + d = -1 \implies d = -1
     $$
   - Thay vào phương trình (3):
     $$
     \frac{8a}{27} + \frac{4(-2a)}{9} + \frac{2a}{3} - 1 = -\frac{29}{27}
     $$
     $$
     \frac{8a}{27} - \frac{8a}{9} + \frac{2a}{3} - 1 = -\frac{29}{27}
     $$
     $$
     \frac{8a}{27} - \frac{24a}{27} + \frac{18a}{27} - 1 = -\frac{29}{27}
     $$
     $$
     \frac{2a}{27} - 1 = -\frac{29}{27}
     $$
     $$
     \frac{2a}{27} = -\frac{29}{27} + 1
     $$
     $$
     \frac{2a}{27} = -\frac{29}{27} + \frac{27}{27}
     $$
     $$
     \frac{2a}{27} = -\frac{2}{27}
     $$
     $$
     2a = -2 \implies a = -1
     $$
   - Vậy $b = -2a = 2$, $c = a = -1$, và $d = -1$.

7. Tính giá trị biểu thức $S = a + b + c + d$:

$$
   S = -1 + 2 - 1 - 1 = -1
   $$

Vậy giá trị biểu thức $S = a + b + c + d$ là $-1$.