giup voiiiii

Câu 1. Để tìm giá trị của biểu thức \( A = 2a + b \), ta cần xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 \). Ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 1) = 3x^2 - 12x + 9 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Do đó, các nghiệm là: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = 3 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trong các khoảng giữa các nghiệm. - Khi \( x < 1 \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 \] - Khi \( 1 < x < 3 \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \] - Khi \( x > 3 \): Chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \] Từ kết quả trên, ta thấy: - \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm tại \( x = 1 \), do đó \( x = 1 \) là điểm cực đại. - \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương tại \( x = 3 \), do đó \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Áp dụng vào biểu thức \( A = 2a + b \): \[ a = 1 \quad \text{(điểm cực đại)} \] \[ b = 3 \quad \text{(điểm cực tiểu)} \] \[ A = 2a + b = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ \boxed{5} \] Câu 2. Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{3x + 5}{-x + 7} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{3x + 5}{-x + 7} \) Ta biết rằng tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) là điểm \( I \left( -\frac{d}{c}; -\frac{a}{c} \right) \). Trong trường hợp này, \( a = 3 \), \( b = 5 \), \( c = -1 \), và \( d = 7 \). Do đó, tọa độ tâm đối xứng \( I \) là: \[ a = -\frac{d}{c} = -\frac{7}{-1} = 7 \] \[ b = -\frac{a}{c} = -\frac{3}{-1} = 3 \] Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \( I(7; 3) \). 2. Tính giá trị của biểu thức \( B = -4a - b \) Thay \( a = 7 \) và \( b = 3 \) vào biểu thức \( B \): \[ B = -4a - b = -4 \cdot 7 - 3 = -28 - 3 = -31 \] Vậy giá trị của biểu thức \( B \) là \(-31\). Đáp số: \( B = -31 \) Câu 3. Đồ thị hàm số $f(x)=5x-1+\frac8{x-1}$ có tâm đối xứng là $I(1;4).$ Vậy $a=1,b=4.$ Ta có $C=a+3b=1+3\times 4=13.$ Vậy $C=13.$ Câu 4. Để tìm số điểm cực trị của hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(ax^3 + bx^2 + cx + d) = 3ax^2 + 2bx + c \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ 3ax^2 + 2bx + c = 0 \] Bước 3: Xét phương trình bậc hai $3ax^2 + 2bx + c = 0$. Ta cần kiểm tra xem phương trình này có bao nhiêu nghiệm thực. Phương trình bậc hai $Ax^2 + Bx + C = 0$ có số nghiệm thực phụ thuộc vào dấu của biệt thức $\Delta = B^2 - 4AC$. Trong trường hợp này, $A = 3a$, $B = 2b$, và $C = c$. Biệt thức của phương trình là: \[ \Delta = (2b)^2 - 4(3a)c = 4b^2 - 12ac = 4(b^2 - 3ac) \] Theo đề bài, ta có $b^2 - 3ac > 0$. Do đó: \[ \Delta = 4(b^2 - 3ac) > 0 \] Bước 4: Kết luận về số nghiệm của phương trình bậc hai. Vì $\Delta > 0$, phương trình $3ax^2 + 2bx + c = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt. Bước 5: Xác định số điểm cực trị của hàm số. Hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đạo hàm $y' = 3ax^2 + 2bx + c$. Phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt, do đó hàm số có hai điểm cực trị. Kết luận: Hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có tất cả 2 điểm cực trị. Câu 5. Để tìm giá trị của \(a\) trong đường tiệm cận ngang của hàm số \(y = f(t)\), chúng ta cần tính giới hạn của \(f(t)\) khi \(t\) tiến đến vô cùng. Hàm số đã cho là: \[ f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} \] Ta tính giới hạn của \(f(t)\) khi \(t\) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{26t + 10}{t + 5} \] Chia cả tử và mẫu cho \(t\): \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{26t + 10}{t + 5} = \lim_{t \to +\infty} \frac{26 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} \] Khi \(t\) tiến đến vô cùng, các phân số \(\frac{10}{t}\) và \(\frac{5}{t}\) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{t \to +\infty} \frac{26 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} = \frac{26 + 0}{1 + 0} = 26 \] Vậy đường tiệm cận ngang của hàm số \(y = f(t)\) là \(y = 26\). Do đó, giá trị của \(a\) là: \[ a = 26 \] Đáp số: \(a = 26\) Câu 6. Để tìm vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 18 giây đầu tiên, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của hàm chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = -3t^2 + 36t + 1 \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời đạt cực đại: Để tìm cực đại của \( v(t) \), chúng ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ \frac{dv}{dt} = -6t + 36 \] Đặt đạo hàm này bằng 0 để tìm giá trị của \( t \): \[ -6t + 36 = 0 \implies t = 6 \] 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại \( t = 6 \): Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ \frac{d^2v}{dt^2} = -6 \] Vì đạo hàm thứ hai là một hằng số âm (-6), điều này cho thấy \( v(t) \) đạt cực đại tại \( t = 6 \). 4. Tính vận tốc tức thời tại \( t = 6 \): Thay \( t = 6 \) vào công thức của \( v(t) \): \[ v(6) = -3(6)^2 + 36(6) + 1 = -3(36) + 216 + 1 = -108 + 216 + 1 = 109 \] Do đó, vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 18 giây đầu tiên là 109 mét/giây. Đáp số: 109 m/s. Câu 7. Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2} \), ta thực hiện phép chia đa thức \( 2x^2 + x - 1 \) cho \( x + 2 \). Bước 1: Thực hiện phép chia \( 2x^2 + x - 1 \) cho \( x + 2 \): \[ \begin{array}{r|rr} & 2x & -3 \\ \hline x+2 & 2x^2 & +x & -1 \\ & -(2x^2 & +4x) & \\ \hline & & -3x & -1 \\ & & -(-3x & -6) \\ \hline & & & 5 \\ \end{array} \] Ta có kết quả của phép chia là \( 2x - 3 \) và phần dư là 5. Do đó, ta có thể viết lại hàm số dưới dạng: \[ y = 2x - 3 + \frac{5}{x + 2} \] Bước 2: Xác định tiệm cận xiên Khi \( x \to \pm \infty \), phần \( \frac{5}{x + 2} \) sẽ tiến đến 0. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \( y = 2x - 3 \). Bước 3: Tính \( a + b \) Trong phương trình \( y = ax + b \), ta thấy \( a = 2 \) và \( b = -3 \). Do đó: \[ a + b = 2 + (-3) = -1 \] Vậy \( a + b = -1 \). Đáp số: \( a + b = -1 \). Câu 8. Để tìm vận tốc của vật sau 2 giây, ta cần tính đạo hàm của hàm số độ cao \( h(t) \) theo thời gian \( t \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( h(t) \). \[ h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2 \] \[ h'(t) = \frac{d}{dt}(2 + 24,5t - 4,9t^2) \] \[ h'(t) = 0 + 24,5 - 2 \cdot 4,9t \] \[ h'(t) = 24,5 - 9,8t \] Bước 2: Thay \( t = 2 \) vào đạo hàm \( h'(t) \) để tìm vận tốc của vật sau 2 giây. \[ v(2) = h'(2) \] \[ v(2) = 24,5 - 9,8 \cdot 2 \] \[ v(2) = 24,5 - 19,6 \] \[ v(2) = 4,9 \] Vậy vận tốc của vật sau 2 giây là 4,9 m/s. Câu 9. Để tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ là điểm $I\left(-\frac{b}{3a}; f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$. Trong trường hợp này, ta có $a = 1$, $b = 3$, $c = -9$, và $d = 1$. Do đó, tọa độ tâm đối xứng là: \[ a = -\frac{b}{3a} = -\frac{3}{3 \cdot 1} = -1 \] Bước 2: Tính giá trị của hàm số tại điểm $x = -1$ để tìm tọa độ $b$. \[ f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 9(-1) + 1 = -1 + 3 + 9 + 1 = 12 \] Vậy tọa độ tâm đối xứng là $I(-1; 12)$. Bước 3: Tính $2a + b$. \[ 2a + b = 2(-1) + 12 = -2 + 12 = 10 \] Đáp số: $2a + b = 10$. Câu 10. Gọi cạnh của các hình vuông ở 4 góc là x (0 < x < 1,5). Diện tích toàn phần của cái hộp là: $ S_{t} = 9 - 4x^{2} + 4 \times x \times (3 - 2x)$ $ = 9 - 4x^{2} + 12x - 8x^{2}$ $ = 9 + 12x - 12x^{2}$ $ = -12(x^{2} - x - \frac{3}{4})$ $ = -12[(x - \frac{1}{2})^{2} - 1]$ $ = -12(x - \frac{1}{2})^{2} + 12$ Ta thấy $ -12(x - \frac{1}{2})^{2} \leq 0$ nên $ S_{t} \leq 12$. Vậy diện tích toàn phần lớn nhất là 12 cm${^2}$ khi $ x = \frac{1}{2}$.