Giải nhanh giúp e vs ạ

Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đường tiệm cận của hàm số. 2. Tìm giao điểm của hai đường tiệm cận. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M. 4. Tìm tọa độ của các điểm A và B. 5. Tính chu vi của tam giác IAB và tìm giá trị nhỏ nhất. Bước 1: Xác định các đường tiệm cận của hàm số Hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có đường tiệm cận đứng là $x=1$ (vì mẫu số bằng 0 khi $x=1$). Đường tiệm cận ngang là $y=2$ (vì $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x-1}{x-1} = 2$). Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường tiệm cận Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(1, 2). Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M Gọi M có tọa độ $(x_0, y_0)$, ta có: \[ y_0 = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} \] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M: \[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \] Trong đó, $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x-1}{x-1}\right) = \frac{(2)(x-1) - (2x-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$ Do đó, phương trình tiếp tuyến là: \[ y - \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] Bước 4: Tìm tọa độ của các điểm A và B Để tìm tọa độ của điểm A, ta thay $x = 1$ vào phương trình tiếp tuyến: \[ y - \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(1 - x_0) \] \[ y = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} + \frac{x_0 - 1}{(x_0 - 1)^2} = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} + \frac{1}{x_0 - 1} = \frac{2x_0}{x_0 - 1} \] Vậy tọa độ của điểm A là $\left(1, \frac{2x_0}{x_0 - 1}\right)$. Để tìm tọa độ của điểm B, ta thay $y = 2$ vào phương trình tiếp tuyến: \[ 2 - \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] \[ 2 - \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] \[ \frac{2(x_0 - 1) - (2x_0 - 1)}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] \[ \frac{2x_0 - 2 - 2x_0 + 1}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] \[ \frac{-1}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] \[ x - x_0 = x_0 - 1 \] \[ x = 2x_0 - 1 \] Vậy tọa độ của điểm B là $\left(2x_0 - 1, 2\right)$. Bước 5: Tính chu vi của tam giác IAB và tìm giá trị nhỏ nhất Chu vi của tam giác IAB là: \[ P = IA + IB + AB \] Trong đó: \[ IA = \sqrt{(1 - 1)^2 + \left(2 - \frac{2x_0}{x_0 - 1}\right)^2} = \left|2 - \frac{2x_0}{x_0 - 1}\right| = \left|\frac{2(x_0 - 1) - 2x_0}{x_0 - 1}\right| = \left|\frac{-2}{x_0 - 1}\right| = \frac{2}{|x_0 - 1|} \] \[ IB = \sqrt{(1 - (2x_0 - 1))^2 + (2 - 2)^2} = |1 - (2x_0 - 1)| = |2 - 2x_0| = 2|x_0 - 1| \] \[ AB = \sqrt{(1 - (2x_0 - 1))^2 + \left(\frac{2x_0}{x_0 - 1} - 2\right)^2} = \sqrt{(2 - 2x_0)^2 + \left(\frac{2x_0 - 2(x_0 - 1)}{x_0 - 1}\right)^2} = \sqrt{(2 - 2x_0)^2 + \left(\frac{2}{x_0 - 1}\right)^2} = \sqrt{4(x_0 - 1)^2 + \frac{4}{(x_0 - 1)^2}} = 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} \] Do đó: \[ P = \frac{2}{|x_0 - 1|} + 2|x_0 - 1| + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi, ta xét hàm số: \[ f(t) = \frac{2}{t} + 2t + 2\sqrt{t^2 + \frac{1}{t^2}} \] Với $t = |x_0 - 1| > 0$, ta có: \[ f'(t) = -\frac{2}{t^2} + 2 + 2 \cdot \frac{t - \frac{1}{t^3}}{\sqrt{t^2 + \frac{1}{t^2}}} = 0 \] Giải phương trình này để tìm giá trị của $t$ sao cho $f'(t) = 0$. Ta thấy rằng khi $t = 1$, ta có: \[ f(1) = 2 + 2 + 2\sqrt{1 + 1} = 4 + 2\sqrt{2} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi là $4 + 2\sqrt{2}$. Do đó, $a = 4$ và $b = 8$, suy ra $a - b + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$. Đáp số: $0$.