Tính chiều cao CD của ngọn núi ở hình vẽ biết tại hai điểm A và B cách nhau 1000m người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 32° và 40 ° (làm tròn đến hàng phần mười)

Question

nhulam88 · Accepted Answer

Đặt BD = x km, khi đó ta có AD = BD + BA = x + 1.
Trong tam giác ACD vuông tại D ta có:
$\displaystyle an\widehat{CAD} = an 32^{0} =\frac{CD}{AD} =\frac{CD}{x+1} \Longrightarrow CA= an 32^{0}( x+1)( 1)$
Trong tam giác CBD vuông tại D ta có:
$\displaystyle an\widehat{CBD} = an 40^{0} =\frac{CD}{BD} =\frac{CD}{x} \Longrightarrow CD= an 40^{0} .x( 2)$
Từ (1) và (2) suy ra: $\displaystyle \mathrm{tan32^{0} .( x\ +\ 1) \ =\ tan40^{0} .x}$
Suy ra: $\displaystyle x=\frac{ an 32^{0}}{\mathrm{\ tan40^{0}} - an 32^{0}} \approx 2,92\ km$
Suy ra $\displaystyle CD\ =\ x.tan40\mathrm{^{0}} \ \approx \ 2,92.tan40\mathrm{^{0}} \ \approx \ 2,45\ km.$
Vậy chiều cao CD của một ngọn núi khoảng 2,45 km.

Timi · Answer

Để tính chiều cao $CD$ của ngọn núi, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác và tỉ số lượng giác.

1. Xác định các góc và cạnh trong tam giác:
   - Gọi $D$ là đỉnh núi.
   - $A$ và $B$ là hai điểm trên mặt đất, cách nhau 1000m.
   - Góc nâng từ $A$ lên đỉnh núi là 32°.
   - Góc nâng từ $B$ lên đỉnh núi là 40°.

2. Xác định các tam giác:
   - Tam giác $ADC$ với góc $ \angle CAD = 32^\circ $.
   - Tam giác $BDC$ với góc $ \angle CBD = 40^\circ $.

3. Áp dụng tỉ số lượng giác:
   - Trong tam giác $ADC$, ta có:
     $$
     \tan(32^\circ) = \frac{CD}{AD}
     $$
   - Trong tam giác $BDC$, ta có:
     $$
     \tan(40^\circ) = \frac{CD}{BD}
     $$

4. Biểu diễn $AD$ và $BD$ theo $CD$:
   - Từ tam giác $ADC$:
     $$
     AD = \frac{CD}{\tan(32^\circ)}
     $$
   - Từ tam giác $BDC$:
     $$
     BD = \frac{CD}{\tan(40^\circ)}
     $$

5. Biết rằng $AB = 1000$ m, ta có:
   $$
   AB = AD + BD
   $$
   Thay các giá trị đã tìm được vào:
   $$
   1000 = \frac{CD}{\tan(32^\circ)} + \frac{CD}{\tan(40^\circ)}
   $$

6. Tính tổng các phân số:
   $$
   1000 = CD \left( \frac{1}{\tan(32^\circ)} + \frac{1}{\tan(40^\circ)} \right)
   $$

7. Tìm giá trị của các tỉ số lượng giác:
   - $\tan(32^\circ) \approx 0.624869$
   - $\tan(40^\circ) \approx 0.839099$

8. Thay các giá trị vào phương trình:
   $$
   1000 = CD \left( \frac{1}{0.624869} + \frac{1}{0.839099} \right)
   $$
   $$
   1000 = CD \left( 1.6003 + 1.1917 \right)
   $$
   $$
   1000 = CD \times 2.792
   $$

9. Giải phương trình để tìm $CD$:
   $$
   CD = \frac{1000}{2.792} \approx 358.1
   $$

Vậy chiều cao $CD$ của ngọn núi là khoảng 358.1 m (làm tròn đến hàng phần mười).