Giúp em với ạ

Câu 8. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm doanh thu (TR) và hàm chi phí tổng (TC). 2. Tìm hàm lợi nhuận (π) và tối đa hóa nó. 3. Kiểm tra từng mệnh đề. Bước 1: Xác định hàm doanh thu (TR) và hàm chi phí tổng (TC) Hàm cầu: \[ P = 400 - 2Q \] Hàm chi phí trung bình: \[ \overline{C} = 0,2Q + 4 + \frac{400}{Q} \] Hàm chi phí tổng: \[ TC = \overline{C} \times Q = (0,2Q + 4 + \frac{400}{Q}) \times Q = 0,2Q^2 + 4Q + 400 \] Hàm doanh thu: \[ TR = P \times Q = (400 - 2Q) \times Q = 400Q - 2Q^2 \] Bước 2: Tìm hàm lợi nhuận (π) và tối đa hóa nó Hàm lợi nhuận: \[ \pi = TR - TC = (400Q - 2Q^2) - (0,2Q^2 + 4Q + 400) = 400Q - 2Q^2 - 0,2Q^2 - 4Q - 400 = 396Q - 2,2Q^2 - 400 \] Để tối đa hóa lợi nhuận, chúng ta tìm đạo hàm của π và đặt nó bằng 0: \[ \frac{d\pi}{dQ} = 396 - 4,4Q = 0 \] \[ 4,4Q = 396 \] \[ Q = \frac{396}{4,4} = 90 \] Bước 3: Kiểm tra từng mệnh đề Mệnh đề a: \( Q = 90 \) là lượng sản phẩm bán ra để lợi nhuận thu được tối đa Đúng, vì chúng ta đã tìm được \( Q = 90 \) là điểm tối đa của hàm lợi nhuận. Mệnh đề b: Giá bán để lợi nhuận thu được tối đa là 400 Giá bán khi \( Q = 90 \): \[ P = 400 - 2 \times 90 = 400 - 180 = 220 \] Sai, giá bán không phải là 400 mà là 220. Mệnh đề c: Lợi nhuận tối đa là 17420 Lợi nhuận tối đa khi \( Q = 90 \): \[ \pi = 396 \times 90 - 2,2 \times 90^2 - 400 = 35640 - 17820 - 400 = 17420 \] Đúng, lợi nhuận tối đa là 17420. Mệnh đề d: Nếu chính phủ đánh thuế 22 mỗi đơn vị sản phẩm thì giá bán 390 để lợi nhuận thu được tối đa Nếu chính phủ đánh thuế 22 mỗi đơn vị sản phẩm, thì chi phí trung bình mới là: \[ \overline{C'} = 0,2Q + 4 + \frac{400}{Q} + 22 = 0,2Q + 26 + \frac{400}{Q} \] Chi phí tổng mới: \[ TC' = \overline{C'} \times Q = (0,2Q + 26 + \frac{400}{Q}) \times Q = 0,2Q^2 + 26Q + 400 \] Hàm lợi nhuận mới: \[ \pi' = TR - TC' = (400Q - 2Q^2) - (0,2Q^2 + 26Q + 400) = 400Q - 2Q^2 - 0,2Q^2 - 26Q - 400 = 374Q - 2,2Q^2 - 400 \] Đạo hàm và tối đa hóa: \[ \frac{d\pi'}{dQ} = 374 - 4,4Q = 0 \] \[ 4,4Q = 374 \] \[ Q = \frac{374}{4,4} = 85 \] Giá bán khi \( Q = 85 \): \[ P = 400 - 2 \times 85 = 400 - 170 = 230 \] Sai, giá bán không phải là 390 mà là 230. Kết luận - Mệnh đề a: Đúng - Mệnh đề b: Sai - Mệnh đề c: Đúng - Mệnh đề d: Sai Câu 9. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) Bán kính đường tròn: \( r = \frac{x}{\pi} \) - Chiều dài đoạn dây kim loại là \( x \) cm. - Khi uốn thành đường tròn, chu vi của đường tròn là \( x \). - Chu vi của đường tròn được tính bằng công thức \( C = 2\pi r \). Do đó: \[ x = 2\pi r \] \[ r = \frac{x}{2\pi} \] Vậy mệnh đề a) là sai vì \( r = \frac{x}{2\pi} \), không phải \( r = \frac{x}{\pi} \). Mệnh đề b) Diện tích hình vuông: \( \left( \frac{a - x}{4} \right)^2 \) - Đoạn dây còn lại có chiều dài \( a - x \) cm. - Khi uốn thành hình vuông, mỗi cạnh của hình vuông sẽ có chiều dài \( \frac{a - x}{4} \). Diện tích hình vuông được tính bằng công thức \( A = l^2 \), trong đó \( l \) là chiều dài một cạnh. Do đó: \[ A = \left( \frac{a - x}{4} \right)^2 \] Vậy mệnh đề b) là đúng. Mệnh đề c) Tổng diện tích hai hình: \( \frac{(4 + \pi)x^2 - 2a\pi x + \pi a^2}{16\pi} \) - Diện tích hình tròn: \( A_{tròn} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{x}{2\pi} \right)^2 = \frac{x^2}{4\pi} \). - Diện tích hình vuông: \( A_{vuông} = \left( \frac{a - x}{4} \right)^2 = \frac{(a - x)^2}{16} \). Tổng diện tích hai hình: \[ A_{tổng} = A_{tròn} + A_{vuông} = \frac{x^2}{4\pi} + \frac{(a - x)^2}{16} \] Chúng ta cần quy đồng mẫu số để cộng hai diện tích này: \[ A_{tổng} = \frac{4x^2}{16\pi} + \frac{\pi(a - x)^2}{16\pi} = \frac{4x^2 + \pi(a - x)^2}{16\pi} \] Phát triển \( (a - x)^2 \): \[ (a - x)^2 = a^2 - 2ax + x^2 \] Do đó: \[ A_{tổng} = \frac{4x^2 + \pi(a^2 - 2ax + x^2)}{16\pi} = \frac{4x^2 + \pi a^2 - 2\pi ax + \pi x^2}{16\pi} = \frac{(4 + \pi)x^2 - 2\pi ax + \pi a^2}{16\pi} \] Vậy mệnh đề c) là đúng. Mệnh đề d) Khi \( x = \frac{a\pi}{2 + \pi} \) thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất. - Để tìm giá trị \( x \) làm cho tổng diện tích nhỏ nhất, chúng ta cần tìm đạo hàm của \( A_{tổng} \) theo \( x \) và đặt nó bằng 0. Tổng diện tích: \[ A_{tổng} = \frac{(4 + \pi)x^2 - 2\pi ax + \pi a^2}{16\pi} \] Đạo hàm của \( A_{tổng} \) theo \( x \): \[ \frac{dA_{tổng}}{dx} = \frac{2(4 + \pi)x - 2\pi a}{16\pi} \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị \( x \): \[ \frac{2(4 + \pi)x - 2\pi a}{16\pi} = 0 \] \[ 2(4 + \pi)x - 2\pi a = 0 \] \[ (4 + \pi)x = \pi a \] \[ x = \frac{\pi a}{4 + \pi} \] Vậy mệnh đề d) là đúng. Kết luận - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 10. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. a) Đúng. Vì tổng quãng đường BC là 8 km, nên nếu BD là x km thì CD sẽ là 8 - x km. b) Sai. Thời gian chèo thuyền trên quãng đường AD là $\frac{\sqrt{x^2 + 9}}{6}$ giờ, vì tốc độ chèo thuyền là 6 km/giờ. c) Đúng. Tổng thời gian di chuyển từ A đến B là tổng thời gian chèo thuyền từ A đến D và thời gian chạy từ D đến B. Thời gian chèo thuyền là $\frac{\sqrt{x^2 + 9}}{6}$ giờ và thời gian chạy là $\frac{8 - x}{8}$ giờ. Do đó, tổng thời gian là $\frac{\sqrt{x^2 + 9}}{6} + \frac{8 - x}{8}$. d) Đúng. Để tìm thời gian ngắn nhất, chúng ta cần tối thiểu hóa hàm số tổng thời gian: $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{6} + \frac{8 - x}{8}$ Đạo hàm của f(x): $f'(x) = \frac{x}{6\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{8}$ Đặt f'(x) = 0 để tìm giá trị x tối ưu: $\frac{x}{6\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{1}{8}$ $x = \frac{3}{4}\sqrt{x^2 + 9}$ $x^2 = \frac{9}{16}(x^2 + 9)$ $x^2 = \frac{9}{7}$ $x = \frac{3}{\sqrt{7}}$ Thay x vào f(x) để tính thời gian: $f\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) = \frac{\sqrt{\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^2 + 9}}{6} + \frac{8 - \frac{3}{\sqrt{7}}}{8}$ $f\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) = \frac{\sqrt{\frac{9}{7} + 9}}{6} + \frac{8 - \frac{3}{\sqrt{7}}}{8}$ $f\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) = \frac{\sqrt{\frac{72}{7}}}{6} + \frac{8 - \frac{3}{\sqrt{7}}}{8}$ $f\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) = \frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{7}} + \frac{8 - \frac{3}{\sqrt{7}}}{8}$ $f\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} + \frac{8 - \frac{3}{\sqrt{7}}}{8}$ $f\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} + 1 - \frac{3}{8\sqrt{7}}$ $f\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} + 1 - \frac{3}{8\sqrt{7}}$ $f\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) = \frac{8\sqrt{2} - 3}{8\sqrt{7}} + 1$ $f\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) \approx 1.33$ giờ Do đó, khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B là khoảng 1 giờ 20 phút. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng. Câu 11. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) Chiều cao của hình chóp là $\sqrt{1250 - 25\sqrt{2}x}$. Trước tiên, ta cần tìm chiều cao của hình chóp. Ta biết rằng diện tích toàn phần của hình chóp bao gồm diện tích đáy và diện tích các mặt bên. Diện tích đáy là $x^2$. Diện tích mỗi mặt bên là $\frac{1}{2} \times x \times h$, trong đó $h$ là chiều cao của tam giác cân (cạnh đáy là $x$). Ta có diện tích toàn phần của hình chóp là: \[ S_{\text{toàn phần}} = x^2 + 4 \times \left( \frac{1}{2} \times x \times h \right) = x^2 + 2xh \] Biết rằng diện tích toàn phần của hình chóp là $1250$, ta có: \[ x^2 + 2xh = 1250 \] \[ 2xh = 1250 - x^2 \] \[ h = \frac{1250 - x^2}{2x} \] Do đó, mệnh đề a) là sai vì chiều cao của hình chóp không phải là $\sqrt{1250 - 25\sqrt{2}x}$. Mệnh đề b) Điều kiện của $x$ là: $0 < x < 25\sqrt{2}$. Để đảm bảo rằng hình chóp có thể được tạo ra từ tấm bìa hình vuông, cạnh đáy $x$ phải nhỏ hơn cạnh của tấm bìa ban đầu. Cạnh của tấm bìa ban đầu là $50$ cm, do đó: \[ 0 < x < 50 \] Mệnh đề b) là sai vì điều kiện của $x$ không phải là $0 < x < 25\sqrt{2}$ mà là $0 < x < 50$. Mệnh đề c) Thể tích của khối chóp bằng $\frac{1}{3}\sqrt{1250x^3 - 25\sqrt{2}x^4}$. Thể tích của khối chóp được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Diện tích đáy là $x^2$ và chiều cao đã tìm được là $h = \frac{1250 - x^2}{2x}$. Do đó: \[ V = \frac{1}{3} \times x^2 \times \frac{1250 - x^2}{2x} = \frac{1}{3} \times \frac{x^2 (1250 - x^2)}{2x} = \frac{1}{3} \times \frac{x (1250 - x^2)}{2} = \frac{1}{6} x (1250 - x^2) \] Mệnh đề c) là sai vì thể tích của khối chóp không phải là $\frac{1}{3}\sqrt{1250x^3 - 25\sqrt{2}x^4}$ mà là $\frac{1}{6} x (1250 - x^2)$. Mệnh đề d) Khi cạnh đáy của khối chóp bằng $3\sqrt{2}~dm$ thì thể tích của khối chóp là lớn nhất. Để tìm giá trị của $x$ làm thể tích lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của thể tích theo $x$ và giải phương trình đạo hàm bằng 0. Thể tích: \[ V = \frac{1}{6} x (1250 - x^2) \] Đạo hàm của $V$ theo $x$: \[ \frac{dV}{dx} = \frac{1}{6} (1250 - 3x^2) \] Đặt đạo hàm bằng 0: \[ 1250 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 = 1250 \] \[ x^2 = \frac{1250}{3} \] \[ x = \sqrt{\frac{1250}{3}} \approx 20.41 \] Do đó, mệnh đề d) là sai vì giá trị của $x$ làm thể tích lớn nhất không phải là $3\sqrt{2}~dm$ mà là khoảng $20.41$ cm. Kết luận - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai. Câu 12. Để giải quyết các mệnh đề, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. a) Thời gian đi từ A đến M là $\frac{\sqrt{25 + x^2}}{4}$. - Thời gian đi từ A đến M là khoảng cách từ A đến M chia cho vận tốc chèo. - Khoảng cách từ A đến M là $\sqrt{5^2 + x^2} = \sqrt{25 + x^2}$. - Vận tốc chèo là 4 km/h. - Vậy thời gian đi từ A đến M là $\frac{\sqrt{25 + x^2}}{4}$. b) Thời gian đi từ A đến C là $\frac{\sqrt{25 + x^2}}{4} + \frac{7 - x}{6}$. - Thời gian đi từ A đến M đã được tính ở trên là $\frac{\sqrt{25 + x^2}}{4}$. - Thời gian đi từ M đến C là khoảng cách từ M đến C chia cho vận tốc đi bộ. - Khoảng cách từ M đến C là $7 - x$. - Vận tốc đi bộ là 6 km/h. - Vậy thời gian đi từ M đến C là $\frac{7 - x}{6}$. - Tổng thời gian đi từ A đến C là $\frac{\sqrt{25 + x^2}}{4} + \frac{7 - x}{6}$. c) Thời gian ngắn nhất từ A đến C là khoảng 3h 06 phút. - Để tìm thời gian ngắn nhất, chúng ta cần tối thiểu hóa hàm số thời gian $T(x) = \frac{\sqrt{25 + x^2}}{4} + \frac{7 - x}{6}$. - Ta tính đạo hàm của $T(x)$: \[ T'(x) = \frac{x}{4\sqrt{25 + x^2}} - \frac{1}{6}. \] - Đặt $T'(x) = 0$: \[ \frac{x}{4\sqrt{25 + x^2}} = \frac{1}{6}. \] \[ 6x = 4\sqrt{25 + x^2}. \] \[ 36x^2 = 16(25 + x^2). \] \[ 36x^2 = 400 + 16x^2. \] \[ 20x^2 = 400. \] \[ x^2 = 20. \] \[ x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. \] - Thay $x = 2\sqrt{5}$ vào $T(x)$: \[ T(2\sqrt{5}) = \frac{\sqrt{25 + (2\sqrt{5})^2}}{4} + \frac{7 - 2\sqrt{5}}{6}. \] \[ T(2\sqrt{5}) = \frac{\sqrt{25 + 20}}{4} + \frac{7 - 2\sqrt{5}}{6}. \] \[ T(2\sqrt{5}) = \frac{\sqrt{45}}{4} + \frac{7 - 2\sqrt{5}}{6}. \] \[ T(2\sqrt{5}) = \frac{3\sqrt{5}}{4} + \frac{7 - 2\sqrt{5}}{6}. \] \[ T(2\sqrt{5}) = \frac{9\sqrt{5}}{12} + \frac{14 - 4\sqrt{5}}{12}. \] \[ T(2\sqrt{5}) = \frac{9\sqrt{5} + 14 - 4\sqrt{5}}{12}. \] \[ T(2\sqrt{5}) = \frac{5\sqrt{5} + 14}{12}. \] - Ta thấy rằng $\frac{5\sqrt{5} + 14}{12}$ gần bằng 3,1 giờ, tức là khoảng 3h 06 phút. d) Muộn nhất 3h 54 phút người đó phải xuất phát từ vị trí A để có mặt tại kho C lúc 7 giờ sáng. - Nếu thời gian ngắn nhất là 3h 06 phút, thì người đó phải xuất phát muộn nhất là 7 giờ - 3h 06 phút = 3h 54 phút. Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Đúng. - Mệnh đề c) Đúng. - Mệnh đề d) Đúng. Câu 13. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định yêu cầu của bài toán: - Xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy. - Bể phải có thể tích nhất định. 2. Xác định các thông số cần thiết: - Chiều dài (l), chiều rộng (w), và chiều cao (h) của bể. 3. Tính thể tích của bể: - Thể tích \( V \) của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức: \[ V = l \times w \times h \] 4. Xác định điều kiện về diện tích vườn: - Diện tích đáy của bể (chiều dài nhân với chiều rộng) phải phù hợp với diện tích vườn. 5. Lập phương trình hoặc hệ phương trình: - Giả sử diện tích vườn là \( A \). - Diện tích đáy của bể là \( l \times w \leq A \). - Thể tích của bể là \( V = l \times w \times h \). 6. Giải phương trình hoặc hệ phương trình: - Chúng ta cần tìm các giá trị \( l \), \( w \), và \( h \) sao cho \( l \times w \leq A \) và \( l \times w \times h = V \). 7. Kiểm tra các giá trị tìm được: - Kiểm tra lại các giá trị \( l \), \( w \), và \( h \) để đảm bảo chúng thỏa mãn các điều kiện đã đưa ra. 8. Kết luận: - Đưa ra các giá trị \( l \), \( w \), và \( h \) phù hợp với yêu cầu của bài toán. Ví dụ cụ thể: - Giả sử diện tích vườn là 100 m² và thể tích bể cần là 200 m³. - Ta có \( l \times w \leq 100 \) và \( l \times w \times h = 200 \). Chúng ta có thể chọn \( l = 10 \) m, \( w = 10 \) m, và \( h = 2 \) m. Như vậy: - Diện tích đáy \( l \times w = 10 \times 10 = 100 \) m² (thỏa mãn điều kiện diện tích vườn). - Thể tích \( V = 10 \times 10 \times 2 = 200 \) m³ (thỏa mãn yêu cầu thể tích). Do đó, các giá trị \( l = 10 \) m, \( w = 10 \) m, và \( h = 2 \) m là phù hợp. Kết luận: Ông Nam nên xây dựng bể chứa nước với chiều dài 10 m, chiều rộng 10 m, và chiều cao 2 m.