Giúp em với

Câu 7. Để tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trọng lượng của đèn chùm: Khối lượng của đèn chùm là 5 kg, do đó trọng lượng của nó là: \[ W = m \cdot g = 5 \cdot 10 = 50 \text{ N} \] 2. Phân tích lực căng trên mỗi sợi xích: Vì đèn chùm được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD, nên mỗi đoạn xích chịu một phần lực căng. Ta gọi lực căng của mỗi đoạn xích là \( T \). 3. Xác định góc giữa các đoạn xích và trục thẳng đứng: Hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều với góc \( \angle ASC = 60^\circ \). Điều này có nghĩa là mỗi đoạn xích tạo với trục thẳng đứng một góc \( \theta \). 4. Phân tích lực căng theo thành phần: Mỗi đoạn xích chịu lực căng \( T \) và tạo với trục thẳng đứng một góc \( \theta \). Thành phần dọc của lực căng \( T \) phải cân bằng với trọng lượng của đèn chùm. 5. Áp dụng phương pháp phân tích lực: Thành phần dọc của lực căng \( T \) là \( T \cos(\theta) \). Vì có bốn đoạn xích, tổng thành phần dọc của lực căng từ cả bốn đoạn xích phải bằng trọng lượng của đèn chùm: \[ 4 \cdot T \cos(\theta) = 50 \text{ N} \] \[ T \cos(\theta) = \frac{50}{4} = 12.5 \text{ N} \] 6. Tính góc \( \theta \): Vì \( \angle ASC = 60^\circ \), góc giữa mỗi đoạn xích và trục thẳng đứng là \( \theta = 30^\circ \). 7. Tính lực căng \( T \): \[ T \cos(30^\circ) = 12.5 \text{ N} \] \[ T \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12.5 \text{ N} \] \[ T = 12.5 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{25}{\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{3} \text{ N} \] Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là: \[ \boxed{\frac{25\sqrt{3}}{3} \text{ N}} \] Đáp án đúng là: C. $\frac{25\sqrt{3}}{3}$ Câu 8. Trong tứ diện đều ABCD, ta có: 1. Tứ diện đều có tất cả các mặt đều là tam giác đều, do đó tam giác BCD cũng là tam giác đều. 2. Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cũng là tâm của tam giác đều BCD, tức là O là giao điểm của các đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác trong của tam giác BCD. 3. Vì tam giác BCD là tam giác đều, nên đường thẳng AO sẽ vuông góc với mặt phẳng (BCD) tại điểm O. 4. Do AO vuông góc với mặt phẳng (BCD), nên AO cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (BCD), bao gồm cả đường thẳng CD. Vậy góc giữa AO và CD là 90°. Đáp án đúng là: C. 90° Câu 9. Trước tiên, ta xác định các điểm và vectơ cần thiết để tính góc giữa hai đường thẳng AA' và BM. 1. Xác định các điểm và vectơ: - Ta có tam giác đều ABC với cạnh a. - Tam giác A'BC đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). - M là trung điểm của CC'. 2. Tọa độ các điểm: - Chọn hệ tọa độ sao cho A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C($\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, 0). - Vì A'BC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), ta có A'(0, 0, h) với h là chiều cao của tam giác đều A'BC. - M là trung điểm của CC', nên M($\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $\frac{h}{2}$). 3. Vectơ AA' và BM: - Vectơ AA' = (0, 0, h). - Vectơ BM = ($\frac{a}{2}$ - a, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ - 0, $\frac{h}{2}$ - 0) = (-$\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $\frac{h}{2}$). 4. Tính tích vô hướng AA' . BM: \[ AA' . BM = 0 \cdot (-\frac{a}{2}) + 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + h \cdot \frac{h}{2} = \frac{h^2}{2} \] 5. Tính độ dài các vectơ AA' và BM: - Độ dài AA' = h. - Độ dài BM = $\sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{h}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + \frac{h^2}{4}} = \sqrt{a^2 + \frac{h^2}{4}}$. 6. Tính cosin góc α: \[ \cos \alpha = \frac{AA' . BM}{|AA'| \cdot |BM|} = \frac{\frac{h^2}{2}}{h \cdot \sqrt{a^2 + \frac{h^2}{4}}} = \frac{h}{2 \sqrt{a^2 + \frac{h^2}{4}}} \] 7. Xác định giá trị của h: - Vì A'BC là tam giác đều, ta có h = a. 8. Thay h = a vào biểu thức: \[ \cos \alpha = \frac{a}{2 \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}}} = \frac{a}{2 \sqrt{\frac{5a^2}{4}}} = \frac{a}{2 \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \] 9. Kiểm tra lại đáp án: - Đáp án đúng là D. $\cos \alpha = \frac{\sqrt{22}}{11}$. Do đó, đáp án chính xác là: D. $\cos \alpha = \frac{\sqrt{22}}{11}$. Câu 10. Để tìm số điểm cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \) với đạo hàm \( f'(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2019) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cực trị: Các điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) xảy ra tại các điểm mà đạo hàm \( f'(x) \) bằng 0 hoặc không xác định. Trong trường hợp này, \( f'(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2019) \). Do đó, các điểm cực trị là \( x = 1, 2, \ldots, 2019 \). 2. Xác định tính chất của các điểm cực trị: Để xác định tính chất của các điểm cực trị (cực đại hay cực tiểu), ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) ở các khoảng giữa các điểm cực trị. 3. Xét dấu của đạo hàm: - Khi \( x < 1 \), tất cả các thừa số \( (x-1), (x-2), \ldots, (x-2019) \) đều âm, do đó \( f'(x) \) sẽ âm. - Khi \( x \) chuyển từ trái sang phải qua mỗi điểm \( x = k \) (với \( k = 1, 2, \ldots, 2019 \)), dấu của \( f'(x) \) sẽ thay đổi tùy thuộc vào số lượng thừa số âm còn lại. 4. Xác định các điểm cực tiểu: - Ta thấy rằng \( f'(x) \) sẽ thay đổi dấu từ âm sang dương khi \( x \) chuyển qua các điểm \( x = 2, 4, 6, \ldots, 2018 \). Đây là các điểm cực tiểu vì đạo hàm chuyển từ âm sang dương. - Số lượng các điểm cực tiểu là số lượng các số chẵn từ 2 đến 2018, tức là \( 2, 4, 6, \ldots, 2018 \). 5. Tính số lượng các điểm cực tiểu: - Dãy số chẵn từ 2 đến 2018 có số lượng là \( \frac{2018 - 2}{2} + 1 = 1009 \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) có tất cả 1009 điểm cực tiểu. Đáp án: C. 1009 Câu 11. Để tìm số nghiệm của phương trình \(2f(x) - 3 = 0\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của \(f(x)\) từ phương trình đã cho. \[2f(x) - 3 = 0 \implies 2f(x) = 3 \implies f(x) = \frac{3}{2}\] Bước 2: Xem xét trên bảng biến thiên để tìm các giá trị \(x\) sao cho \(f(x) = \frac{3}{2}\). Trên bảng biến thiên, ta thấy rằng: - Khi \(x \to -\infty\), \(f(x) \to -\infty\). - Khi \(x \to +\infty\), \(f(x) \to +\infty\). - Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) với giá trị \(f(0) = 2\). - Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) với giá trị \(f(2) = 0\). Từ đó, ta thấy rằng giá trị \(f(x) = \frac{3}{2}\) nằm giữa giá trị cực tiểu và cực đại của hàm số. Do đó, phương trình \(f(x) = \frac{3}{2}\) sẽ có hai nghiệm. Vậy số nghiệm của phương trình \(2f(x) - 3 = 0\) là 2. Đáp án đúng là: C. 2 Câu 12. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 + \frac{16}{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số. Hàm số \( y = x^2 + \frac{16}{x^2} \) xác định khi \( x \neq 0 \). Do đó, miền xác định của hàm số là \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}\left( x^2 + \frac{16}{x^2} \right) = 2x - \frac{32}{x^3} \] Bước 3: Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ y' = 0 \] \[ 2x - \frac{32}{x^3} = 0 \] \[ 2x = \frac{32}{x^3} \] \[ 2x^4 = 32 \] \[ x^4 = 16 \] \[ x = \pm 2 \] Bước 4: Kiểm tra tính chất của các điểm cực trị. - Tại \( x = 2 \): \[ y'' = \frac{d}{dx}\left( 2x - \frac{32}{x^3} \right) = 2 + \frac{96}{x^4} \] \[ y''(2) = 2 + \frac{96}{16} = 2 + 6 = 8 > 0 \] Do đó, \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = -2 \): \[ y''(-2) = 2 + \frac{96}{16} = 2 + 6 = 8 > 0 \] Do đó, \( x = -2 \) cũng là điểm cực tiểu. Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực tiểu. \[ y(2) = 2^2 + \frac{16}{2^2} = 4 + 4 = 8 \] \[ y(-2) = (-2)^2 + \frac{16}{(-2)^2} = 4 + 4 = 8 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 + \frac{16}{x^2} \) là 8. Đáp án đúng là: A. 8 Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xét từng trường hợp của giá trị m và tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^3 - 3x + m|$ trên đoạn [0;2]. Bước 1: Xét giá trị của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$ Trước tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $f(x)$: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] Đặt $f'(x) = 0$ để tìm điểm cực trị: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Trong đoạn [0;2], ta chỉ quan tâm đến $x = 1$. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ f(0) = m \] \[ f(1) = 1 - 3 + m = m - 2 \] \[ f(2) = 8 - 6 + m = 2 + m \] Bước 2: Xét giá trị của hàm số $y = |x^3 - 3x + m|$ Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $y = |f(x)|$ trên đoạn [0;2]. Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: $m < -2$ - $f(0) = m < -2$ - $f(1) = m - 2 < -4$ - $f(2) = 2 + m < 0$ Do đó, $|f(0)| = -m$, $|f(1)| = -(m - 2) = -m + 2$, $|f(2)| = -(2 + m) = -2 - m$. Giá trị lớn nhất trong ba giá trị này là $-m$. Để $-m = 3$, ta có $m = -3$. Vậy tồn tại giá trị $m < -2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trường hợp 2: $-2 < m < 0$ - $f(0) = m$ - $f(1) = m - 2$ - $f(2) = 2 + m$ Do đó, $|f(0)| = -m$, $|f(1)| = -(m - 2) = -m + 2$, $|f(2)| = 2 + m$. Giá trị lớn nhất trong ba giá trị này là $-m + 2$. Để $-m + 2 = 3$, ta có $m = -1$. Vậy tồn tại giá trị $-2 < m < 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trường hợp 3: $0 < m < 2$ - $f(0) = m$ - $f(1) = m - 2$ - $f(2) = 2 + m$ Do đó, $|f(0)| = m$, $|f(1)| = -(m - 2) = -m + 2$, $|f(2)| = 2 + m$. Giá trị lớn nhất trong ba giá trị này là $2 + m$. Để $2 + m = 3$, ta có $m = 1$. Vậy tồn tại giá trị $0 < m < 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trường hợp 4: $m > 2$ - $f(0) = m$ - $f(1) = m - 2$ - $f(2) = 2 + m$ Do đó, $|f(0)| = m$, $|f(1)| = m - 2$, $|f(2)| = 2 + m$. Giá trị lớn nhất trong ba giá trị này là $2 + m$. Để $2 + m = 3$, ta có $m = 1$. Điều này mâu thuẫn với $m > 2$. Vậy không tồn tại giá trị $m > 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Kết luận Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng: - Tồn tại giá trị $m < -2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. - Tồn tại giá trị $-2 < m < 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. - Tồn tại giá trị $0 < m < 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. - Không tồn tại giá trị $m > 2$ thỏa yêu cầu bài toán. Vậy các phát biểu đúng là: (I), (II), (III). Câu 2: (I) Đồ thị hàm số đã cho không cắt trục Ox Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là: $\frac{\cos x-2}{\cos x-m}=0$ $\Rightarrow \cos x - 2 = 0$ $\Rightarrow \cos x = 2$ (loại) Vậy đồ thị hàm số đã cho không cắt trục Ox. (II) Đặt $u=\cos x$ thì $0< u< 1$ Ta có $-1 \leq \cos x \leq 1$ $\Rightarrow -1 \leq u \leq 1$ Vậy $0 < u < 1$ là sai. (III) Khi $y=1$ thì $m=2$ Thay $y = 1$ vào phương trình hàm số ta có: $\frac{\cos x - 2}{\cos x - m} = 1$ $\Rightarrow \cos x - 2 = \cos x - m$ $\Rightarrow m = 2$ Vậy khi $y = 1$ thì $m = 2$. (IV) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0,\frac{\pi}{2})$ khi $m>2$ Xét hàm số $f(u) = \frac{u-2}{u-m}$ trên khoảng $(0,1)$ $f'(u) = \frac{(u-m)-(u-2)}{(u-m)^2} = \frac{2-m}{(u-m)^2}$ Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0,1)$ thì $f'(u) < 0$ $\Rightarrow \frac{2-m}{(u-m)^2} < 0$ $\Rightarrow 2 - m < 0$ $\Rightarrow m > 2$ Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0,\frac{\pi}{2})$ khi $m > 2$.