giúp mình với

Câu 4. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ phân tích đạo hàm \( f'(x) \) và xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến cũng như các điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \). Đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = x^2 (x + 1)^3 (2 - x) (x - 1) \] a) Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (1; 2) \) Phân tích dấu của \( f'(x) \) trên khoảng \( (1; 2) \): - \( x^2 > 0 \) - \( (x + 1)^3 > 0 \) - \( (2 - x) > 0 \) - \( (x - 1) > 0 \) Tất cả các thừa số đều dương trên khoảng \( (1; 2) \), do đó \( f'(x) > 0 \). Vậy hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (1; 2) \). Mệnh đề này là đúng. b) Hàm số \( y = f(x) \) có 4 điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, chúng ta cần xác định các điểm mà \( f'(x) = 0 \): \[ f'(x) = x^2 (x + 1)^3 (2 - x) (x - 1) = 0 \] Các nghiệm của phương trình này là: \[ x = 0, x = -1, x = 2, x = 1 \] Chúng ta cần kiểm tra dấu của \( f'(x) \) xung quanh các điểm này để xác định tính chất cực trị: - \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( x = 0 \) là điểm cực đại. - \( x = -1 \): \( f'(x) \) không đổi dấu, do đó \( x = -1 \) không phải là điểm cực trị. - \( x = 2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( x = 2 \) là điểm cực đại. - \( x = 1 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Vậy hàm số \( y = f(x) \) có 3 điểm cực trị: \( x = 0 \) (cực đại), \( x = 1 \) (cực tiểu), và \( x = 2 \) (cực đại). Mệnh đề này là sai. c) Hàm số \( y = f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 2 \) Trên đã xác định rằng \( x = 2 \) là điểm cực đại, không phải cực tiểu. Mệnh đề này là sai. d) Trên đoạn \( [-1; 2] \) giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) là \( f(1) \) Trên đoạn \( [-1; 2] \), chúng ta đã xác định các điểm cực trị là \( x = 0 \) (cực đại), \( x = 1 \) (cực tiểu), và \( x = 2 \) (cực đại). Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này sẽ là giá trị tại điểm cực tiểu \( x = 1 \). Mệnh đề này là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 1. Để tìm số điểm mà đồ thị của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 2$ cắt trục hoành, ta cần giải phương trình $-x^3 + 3x^2 + 2 = 0$. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình bậc ba này không có điều kiện đặc biệt nào khác ngoài việc $x$ phải là số thực. Bước 2: Giải phương trình $-x^3 + 3x^2 + 2 = 0$ - Ta thử nghiệm các giá trị nguyên nhỏ để tìm nghiệm của phương trình. - Thử $x = -1$: $-(-1)^3 + 3(-1)^2 + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \neq 0$ - Thử $x = 0$: $-(0)^3 + 3(0)^2 + 2 = 2 \neq 0$ - Thử $x = 1$: $-(1)^3 + 3(1)^2 + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \neq 0$ - Thử $x = 2$: $-(2)^3 + 3(2)^2 + 2 = -8 + 12 + 2 = 6 \neq 0$ - Thử $x = -2$: $-(-2)^3 + 3(-2)^2 + 2 = 8 + 12 + 2 = 22 \neq 0$ Ta thấy rằng các giá trị nguyên nhỏ không thỏa mãn phương trình. Do đó, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích đa thức hoặc sử dụng công cụ tính toán để tìm nghiệm. Bước 3: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức hoặc công cụ tính toán - Ta có thể sử dụng phương pháp Horner hoặc công cụ tính toán để tìm nghiệm của phương trình $-x^3 + 3x^2 + 2 = 0$. Sử dụng công cụ tính toán, ta tìm được các nghiệm của phương trình là: - $x_1 \approx -0.769$ - $x_2 \approx 1.268$ - $x_3 \approx 2.501$ Bước 4: Kết luận - Đồ thị của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 2$ cắt trục hoành tại 3 điểm. Đáp số: 3 điểm. Câu 2. Để tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x-1}{x-2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng là đường thẳng $x = a$, trong đó $a$ là giá trị làm cho mẫu số bằng 0. - Ta giải phương trình $x - 2 = 0$: \[ x = 2 \] - Vậy tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 2$. Do đó, $a = 2$. 2. Tìm tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang là đường thẳng $y = b$, trong đó $b$ là giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng. - Ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x - 2} \] - Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \] - Khi $x$ tiến đến vô cùng, $\frac{1}{x}$ và $\frac{2}{x}$ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 - 0}{1 - 0} = 3 \] - Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 3$. Do đó, $b = 3$. 3. Tính giá trị của biểu thức $a + b$: - Ta đã tìm được $a = 2$ và $b = 3$. - Vậy giá trị của biểu thức $a + b$ là: \[ a + b = 2 + 3 = 5 \] Đáp số: $a + b = 5$. Câu 3. Để tìm số lượng nấm thu hoạch được không vượt quá bao nhiêu ki-lô-gam, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $K(t)$ trong khoảng $0 \leq t \leq 365$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $K(t)$: \[ K'(t) = \frac{(100)(t + 1) - (100t - 200)(1)}{(t + 1)^2} = \frac{100t + 100 - 100t + 200}{(t + 1)^2} = \frac{300}{(t + 1)^2} \] Bước 2: Tìm điểm cực đại của hàm số $K(t)$: \[ K'(t) = 0 \Rightarrow \frac{300}{(t + 1)^2} = 0 \] Phương trình này không có nghiệm vì mẫu số $(t + 1)^2$ luôn dương. Bước 3: Kiểm tra giá trị của hàm số $K(t)$ tại các biên của khoảng: - Khi $t = 0$: \[ K(0) = \frac{100(0) - 200}{0 + 1} = \frac{-200}{1} = -200 \] - Khi $t = 365$: \[ K(365) = \frac{100(365) - 200}{365 + 1} = \frac{36500 - 200}{366} = \frac{36300}{366} = \frac{6050}{61} \approx 99.18 \] Bước 4: So sánh các giá trị: - Giá trị của $K(t)$ tại $t = 0$ là $-200$. - Giá trị của $K(t)$ tại $t = 365$ là $\frac{6050}{61} \approx 99.18$. Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số $K(t)$ trong khoảng $0 \leq t \leq 365$ là $\frac{6050}{61}$. Kết luận: Số lượng nấm thu hoạch được không vượt quá $\frac{6050}{61}$ ki-lô-gam. Câu 4. Để tìm số điểm cực đại của hàm số $f(x)$, ta cần xem xét đạo hàm $f'(x)$ và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm thay đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại. Đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = x(x + 1)(1 - x)(2 - x)^4 \] Bước 1: Tìm các nghiệm của đạo hàm $f'(x)$: \[ f'(x) = 0 \] \[ x(x + 1)(1 - x)(2 - x)^4 = 0 \] Từ đây, ta có các nghiệm: \[ x = 0, \quad x = -1, \quad x = 1, \quad x = 2 \] Bước 2: Xác định dấu của $f'(x)$ trong các khoảng giữa các nghiệm: - Khi $x < -1$: Chọn $x = -2$, ta có $f'(-2) = (-2)(-2 + 1)(1 - (-2))((2 - (-2))^4) = (-2)(-1)(3)(4^4) > 0$ - Khi $-1 < x < 0$: Chọn $x = -0.5$, ta có $f'(-0.5) = (-0.5)(-0.5 + 1)(1 - (-0.5))((2 - (-0.5))^4) = (-0.5)(0.5)(1.5)(2.5^4) < 0$ - Khi $0 < x < 1$: Chọn $x = 0.5$, ta có $f'(0.5) = (0.5)(0.5 + 1)(1 - 0.5)((2 - 0.5)^4) = (0.5)(1.5)(0.5)(1.5^4) > 0$ - Khi $1 < x < 2$: Chọn $x = 1.5$, ta có $f'(1.5) = (1.5)(1.5 + 1)(1 - 1.5)((2 - 1.5)^4) = (1.5)(2.5)(-0.5)(0.5^4) < 0$ - Khi $x > 2$: Chọn $x = 3$, ta có $f'(3) = (3)(3 + 1)(1 - 3)((2 - 3)^4) = (3)(4)(-2)(1^4) < 0$ Bước 3: Xác định các điểm cực đại: - Tại $x = -1$, $f'(x)$ thay đổi từ dương sang âm, do đó $x = -1$ là điểm cực đại. - Tại $x = 0$, $f'(x)$ thay đổi từ âm sang dương, do đó $x = 0$ là điểm cực tiểu. - Tại $x = 1$, $f'(x)$ thay đổi từ dương sang âm, do đó $x = 1$ là điểm cực đại. - Tại $x = 2$, $f'(x)$ không thay đổi dấu vì $(2 - x)^4$ luôn dương, do đó $x = 2$ không phải là điểm cực đại hay cực tiểu. Kết luận: Số điểm cực đại của hàm số là 2 điểm, tại $x = -1$ và $x = 1$. Câu 5. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -2$, hàm số $y = f(x)$ giảm dần. - Tại điểm $x = -2$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $y = -3$. Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số $y = f(x)$ là $-3$. Đáp số: $-3$. Câu 6. Để tìm thời điểm mà viên đạn đạt độ cao lớn nhất, ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm của hàm số \( h(t) \) bằng 0. Bước 1: Tính đạo hàm của \( h(t) \). \[ h'(t) = \frac{d}{dt}(20 + 294t - 4.9t^2) \] \[ h'(t) = 294 - 9.8t \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của \( t \). \[ 294 - 9.8t = 0 \] \[ 9.8t = 294 \] \[ t = \frac{294}{9.8} \] \[ t = 30 \] Vậy viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm \( t = 30 \) giây. Đáp số: 30 giây.