có bao nhiêu nghiệm phương trình sin2x= -1/2 trong khoảng (0;π)

Question

lê trúc linh · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\sin 2x=\ -\frac{1}{2}\
\sin 2x=-\sin\frac{\pi }{6} =\sin\left( -\frac{\pi }{6} ight)\
\left[ \begin{array}{l l}
2x=\frac{-\pi }{6} +k2\pi & \
2x=\pi +\frac{\pi }{6} +k2\pi &
\end{array} ight.( k\in Z)\
\left[ \begin{array}{l l}
x=\frac{-\pi }{12} +k\pi & \
x=\frac{7\pi }{12} +k\pi &
\end{array} ight.( k\in Z) \
\end{array}$

Timi · Answer

Để giải phương trình $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ trong khoảng $(0; \pi)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các giá trị của $2x$ thỏa mãn phương trình:
   Ta biết rằng $\sin(\theta) = -\frac{1}{2}$ khi $\theta = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $\theta = \frac{11\pi}{6} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên.

2. Áp dụng vào phương trình $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$:
   Do đó, ta có:
   $$
   2x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{11\pi}{6} + k2\pi
   $$

3. Giải ra $x$:
   $$
   x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{11\pi}{12} + k\pi
   $$

4. Xác định các giá trị của $x$ nằm trong khoảng $(0; \pi)$:
   - Với $x = \frac{7\pi}{12} + k\pi$:
     - Khi $k = 0$, ta có $x = \frac{7\pi}{12}$.
     - Khi $k = 1$, ta có $x = \frac{7\pi}{12} + \pi = \frac{19\pi}{12}$ (không thuộc khoảng $(0; \pi)$).
   
   - Với $x = \frac{11\pi}{12} + k\pi$:
     - Khi $k = 0$, ta có $x = \frac{11\pi}{12}$.
     - Khi $k = 1$, ta có $x = \frac{11\pi}{12} + \pi = \frac{23\pi}{12}$ (không thuộc khoảng $(0; \pi)$).

Như vậy, các giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ trong khoảng $(0; \pi)$ là:
$$
x = \frac{7\pi}{12} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{11\pi}{12}
$$

Kết luận: Phương trình $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ có hai nghiệm trong khoảng $(0; \pi)$ là $x = \frac{7\pi}{12}$ và $x = \frac{11\pi}{12}$.