Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = (2x - m^2) / (x - 2) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

Question

annguyen-ngoc-ha · Accepted Answer

Timi · Answer

Để hàm số $ y = \frac{2x - m^2}{x - 2} $ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó, ta cần tìm điều kiện của $ m $ sao cho đạo hàm của hàm số dương trên từng khoảng xác định của nó.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.
$$ y&#x27; = \left( \frac{2x - m^2}{x - 2} \right)&#x27; $$

Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ y&#x27; = \frac{(2x - m^2)&#x27;(x - 2) - (2x - m^2)(x - 2)&#x27;}{(x - 2)^2} $$
$$ y&#x27; = \frac{2(x - 2) - (2x - m^2)}{(x - 2)^2} $$
$$ y&#x27; = \frac{2x - 4 - 2x + m^2}{(x - 2)^2} $$
$$ y&#x27; = \frac{m^2 - 4}{(x - 2)^2} $$

Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm dương.
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó, ta cần:
$$ y&#x27; > 0 $$
$$ \frac{m^2 - 4}{(x - 2)^2} > 0 $$

Vì $(x - 2)^2$ luôn dương (trừ khi $x = 2$), nên ta chỉ cần:
$$ m^2 - 4 > 0 $$
$$ m^2 > 4 $$
$$ |m| > 2 $$

Bước 3: Tìm các giá trị nguyên của $ m $.
$$ m < -2 \quad \text{hoặc} \quad m > 2 $$

Các giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện trên là:
$$ m = ..., -3, -4, -5, ... \quad \text{và} \quad m = 3, 4, 5, ... $$

Vậy có vô số giá trị nguyên của $ m $ để hàm số $ y = \frac{2x - m^2}{x - 2} $ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Đáp số: Vô số giá trị nguyên của $ m $.