Tìm x,y thuộc Z : 5X^2-2xy+y^2 = 17

Để tìm các giá trị nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \( 5x^2 - 2xy + y^2 = 17 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét phương trình \( 5x^2 - 2xy + y^2 = 17 \). Bước 2: Ta sẽ thử các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) để tìm các cặp số thỏa mãn phương trình. - Đầu tiên, ta xét \( x = 0 \): \[ 5(0)^2 - 2(0)y + y^2 = 17 \implies y^2 = 17 \] Vì \( y^2 = 17 \) không có nghiệm nguyên, nên \( x = 0 \) không thỏa mãn. - Tiếp theo, ta xét \( x = 1 \): \[ 5(1)^2 - 2(1)y + y^2 = 17 \implies 5 - 2y + y^2 = 17 \implies y^2 - 2y - 12 = 0 \] Giải phương trình bậc hai \( y^2 - 2y - 12 = 0 \): \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 1 \pm \sqrt{13} \] Vì \( 1 \pm \sqrt{13} \) không là số nguyên, nên \( x = 1 \) không thỏa mãn. - Tiếp theo, ta xét \( x = -1 \): \[ 5(-1)^2 - 2(-1)y + y^2 = 17 \implies 5 + 2y + y^2 = 17 \implies y^2 + 2y - 12 = 0 \] Giải phương trình bậc hai \( y^2 + 2y - 12 = 0 \): \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -1 \pm \sqrt{13} \] Vì \( -1 \pm \sqrt{13} \) không là số nguyên, nên \( x = -1 \) không thỏa mãn. - Tiếp theo, ta xét \( x = 2 \): \[ 5(2)^2 - 2(2)y + y^2 = 17 \implies 20 - 4y + y^2 = 17 \implies y^2 - 4y + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai \( y^2 - 4y + 3 = 0 \): \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} = 2 \pm 1 \] Vậy \( y = 3 \) hoặc \( y = 1 \). Do đó, ta có các cặp số \( (2, 3) \) và \( (2, 1) \). - Tiếp theo, ta xét \( x = -2 \): \[ 5(-2)^2 - 2(-2)y + y^2 = 17 \implies 20 + 4y + y^2 = 17 \implies y^2 + 4y + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai \( y^2 + 4y + 3 = 0 \): \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} = -2 \pm 1 \] Vậy \( y = -3 \) hoặc \( y = -1 \). Do đó, ta có các cặp số \( (-2, -3) \) và \( (-2, -1) \). - Cuối cùng, ta xét các giá trị \( x \geq 3 \) hoặc \( x \leq -3 \): \[ 5x^2 - 2xy + y^2 \geq 5(3)^2 = 45 > 17 \] Vì \( 5x^2 - 2xy + y^2 \) lớn hơn 17, nên các giá trị \( x \geq 3 \) hoặc \( x \leq -3 \) không thỏa mãn. Vậy các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình \( 5x^2 - 2xy + y^2 = 17 \) là: \[ (2, 3), (2, 1), (-2, -3), (-2, -1) \]