Vhhhhhhhhhhh

Câu 4. Ta có: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ Theo quy tắc tam giác, ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ Vậy $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$ Đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{AC}$ Câu 5. Để xác định số lượng đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số, chúng ta sẽ dựa vào bảng biến thiên và các giới hạn của hàm số tại các điểm đặc biệt. 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng xảy ra khi hàm số tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng khi x tiến đến một giá trị cố định nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to 0^- \), \( y \to +\infty \) và khi \( x \to 0^+ \), \( y \to -\infty \). Điều này cho thấy \( x = 0 \) là một đường tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang xảy ra khi hàm số tiến đến một giá trị cố định khi \( x \to +\infty \) hoặc \( x \to -\infty \). - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to +\infty \), \( y \to 2 \) và khi \( x \to -\infty \), \( y \to 2 \). Điều này cho thấy \( y = 2 \) là một đường tiệm cận ngang. Tóm lại, đồ thị hàm số đã cho có: - 1 đường tiệm cận đứng: \( x = 0 \) - 1 đường tiệm cận ngang: \( y = 2 \) Vậy tổng cộng, đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Đáp án đúng là: A. 2. Câu 6. Để xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\alpha) \] Ta đã biết: - $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{6}$ - $|\overrightarrow{b}| = 2$ - $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2\sqrt{3}$ Thay các giá trị này vào công thức trên: \[ 2\sqrt{3} = \sqrt{6} \times 2 \times \cos(\alpha) \] Chia cả hai vế cho $2\sqrt{6}$ để tìm $\cos(\alpha)$: \[ \cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Biết rằng $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên ta có: \[ \alpha = 45^\circ \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\alpha = 45^\circ \] Câu 7. Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. Hàm số A: \( y = x^3 - 3x + 2 \) - Ta tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 3 \) - Đặt \( y' = 0 \): \( 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Đồ thị có điểm cực đại tại \( (-1, 4) \) và điểm cực tiểu tại \( (1, 0) \). Tuy nhiên, đồ thị này không phù hợp với đường cong trong hình vì nó có dạng khác. Hàm số B: \( y = x^4 - 2x^2 \) - Ta tính đạo hàm: \( y' = 4x^3 - 4x \) - Đặt \( y' = 0 \): \( 4x^3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 1 \) Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1 \] Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0 \] Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1 \] Đồ thị có điểm cực đại tại \( (0, 0) \) và hai điểm cực tiểu tại \( (-1, -1) \) và \( (1, -1) \). Tuy nhiên, đồ thị này không phù hợp với đường cong trong hình vì nó có dạng khác. Hàm số C: \( y = -x^3 + 3x \) - Ta tính đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 3 \) - Đặt \( y' = 0 \): \( -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = 1 - 3 = -2 \] Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2 \] Đồ thị có điểm cực tiểu tại \( (-1, -2) \) và điểm cực đại tại \( (1, 2) \). Tuy nhiên, đồ thị này không phù hợp với đường cong trong hình vì nó có dạng khác. Hàm số D: \( y = x^3 - 3x \) - Ta tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 3 \) - Đặt \( y' = 0 \): \( 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \] Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \] Đồ thị có điểm cực đại tại \( (-1, 2) \) và điểm cực tiểu tại \( (1, -2) \). Đồ thị này phù hợp với đường cong trong hình. Kết luận: Đáp án đúng là \( D.~y = x^3 - 3x \). Câu 8. Ta xét từng trường hợp: - Trường hợp A: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\overrightarrow a| |\overrightarrow b|$. Điều này chỉ đúng nếu hai vectơ cùng hướng, trái với giả thiết ngược hướng. - Trường hợp B: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = -|\overrightarrow a| |\overrightarrow b|$. Điều này đúng vì khi hai vectơ ngược hướng, góc giữa chúng là 180°, do đó $\cos(180°) = -1$, suy ra $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\overrightarrow a| |\overrightarrow b| \cos(180°) = -|\overrightarrow a| |\overrightarrow b|$. - Trường hợp C: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = -1$. Điều này không đúng vì tích vô hướng phụ thuộc vào độ dài của cả hai vectơ, không chỉ là -1. - Trường hợp D: $\widehat a \widehat b = 0$. Điều này không đúng vì hai vectơ ngược hướng, góc giữa chúng là 180°, không phải 0°. Vậy mệnh đề đúng là: Đáp án: B. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = -|\overrightarrow a| |\overrightarrow b|$. Câu 9. Trước tiên, ta xét các vectơ trong hình hộp ABCD.A'B'C'D': - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A lên đỉnh A'. - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A sang đỉnh B. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A sang đỉnh D. Ta cần tìm tổng của ba vectơ này: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Trong hình hộp, ta có thể thấy rằng: - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ chỉ từ A lên A'. - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ từ A sang B. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ chỉ từ A sang D. Khi cộng các vectơ này lại, ta nhận thấy rằng: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'} \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng: - $\overrightarrow{CA}$ là vectơ chỉ từ C về A. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ chỉ từ A sang C. Do đó, ta nhận thấy rằng: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AC} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~\overrightarrow{AC}} \] Câu 10. Để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \): Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 2} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \] Khi \( x \to \infty \), các phân số \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{2}{x}\) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1 \] Tương tự, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 1}{x - 2} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các phân số \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{2}{x}\) cũng tiến đến 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1 \] 2. Kết luận đường tiệm cận ngang: Vì cả hai giới hạn khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \) đều bằng 1, nên đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - 2} \) là \( y = 1 \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~y = 1. \] Câu 11. Hàm số $y=f(x)$ được cho với bảng biến thiên như sau: | | $(-\infty, -1)$ | $-1$ | $(-1, 1)$ | $1$ | $(1, +\infty)$ | |---|-----------------|------|-----------|-----|----------------| | $y'$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $y$ | $\nearrow$ | $-2$ | $\searrow$| $2$ | $\nearrow$ | Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng: - Trên khoảng $(-\infty, -1)$, đạo hàm $y' > 0$, hàm số đồng biến. - Tại điểm $x = -1$, đạo hàm $y' = 0$, hàm số đạt cực đại tại điểm này với giá trị $y = -2$. - Trên khoảng $(-1, 1)$, đạo hàm $y' < 0$, hàm số nghịch biến. - Tại điểm $x = 1$, đạo hàm $y' = 0$, hàm số đạt cực tiểu tại điểm này với giá trị $y = 2$. - Trên khoảng $(1, +\infty)$, đạo hàm $y' > 0$, hàm số đồng biến. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1, 1)$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~(-1;1)} \] Câu 12. Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$. Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số, ta có: \[ y' = \left( \frac{x}{x + 1} \right)' = \frac{(x)'(x + 1) - x(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm $y'$. Ta thấy rằng $(x + 1)^2$ luôn dương với mọi $x \neq -1$. Do đó, $y' = \frac{1}{(x + 1)^2} > 0$ với mọi $x \neq -1$. Bước 3: Kết luận về tính chất đồng biến/nghịch biến của hàm số. Vì $y' > 0$ với mọi $x \neq -1$, nên hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ là hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -1)$ và $(-1, +\infty)$. Do đó, mệnh đề đúng là: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, -1)$ Đáp án: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, -1)$.