Ciusuu tooiuu

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ X đến Y: - Ta có \( AX = BY = 3 \) km. - \( AB = 3 \) km. - \( AM = NB = x \) km. Do đó, khoảng cách từ \( M \) đến \( N \) là: \[ MN = AB - AM - NB = 3 - x - x = 3 - 2x \] Khoảng cách từ \( X \) đến \( M \) là: \[ XM = \sqrt{AX^2 - AM^2} = \sqrt{3^2 - x^2} = \sqrt{9 - x^2} \] Khoảng cách từ \( Y \) đến \( N \) là: \[ YN = \sqrt{BY^2 - NB^2} = \sqrt{3^2 - x^2} = \sqrt{9 - x^2} \] Tổng khoảng cách từ \( X \) đến \( Y \) qua \( M \) và \( N \) là: \[ XY = XM + MN + YN = \sqrt{9 - x^2} + (3 - 2x) + \sqrt{9 - x^2} = 2\sqrt{9 - x^2} + 3 - 2x \] 2. Tính thời gian chạy từ \( X \) đến \( Y \): - Thời gian chạy trong rừng từ \( X \) đến \( M \) và từ \( Y \) đến \( N \): \[ t_{XM} = t_{YN} = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{5} \] - Thời gian chạy trên bãi biển từ \( M \) đến \( N \): \[ t_{MN} = \frac{3 - 2x}{13} \] Tổng thời gian chạy từ \( X \) đến \( Y \) là: \[ t_{XY} = t_{XM} + t_{MN} + t_{YN} = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{5} + \frac{3 - 2x}{13} + \frac{\sqrt{9 - x^2}}{5} = \frac{2\sqrt{9 - x^2}}{5} + \frac{3 - 2x}{13} \] 3. Tìm giá trị \( x \) để thời gian chạy từ \( X \) đến \( Y \) là nhỏ nhất: Ta cần tìm giá trị \( x \) sao cho tổng thời gian chạy từ \( X \) đến \( Y \) là nhỏ nhất. Điều này tương đương với việc tìm giá trị \( x \) sao cho: \[ f(x) = \frac{2\sqrt{9 - x^2}}{5} + \frac{3 - 2x}{13} \] là nhỏ nhất. Để tìm giá trị \( x \) tối ưu, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, do yêu cầu của đề bài, ta sẽ sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị \( x \) trong khoảng \( 0 \leq x \leq 1.5 \) (vì \( x \) phải thỏa mãn \( 9 - x^2 \geq 0 \)). Thử nghiệm các giá trị \( x \) gần gũi: - Khi \( x = 0 \): \[ t_{XY} = \frac{2\sqrt{9 - 0^2}}{5} + \frac{3 - 2 \cdot 0}{13} = \frac{2 \cdot 3}{5} + \frac{3}{13} = \frac{6}{5} + \frac{3}{13} = 1.2 + 0.23 = 1.43 \text{ giờ} \] - Khi \( x = 1 \): \[ t_{XY} = \frac{2\sqrt{9 - 1^2}}{5} + \frac{3 - 2 \cdot 1}{13} = \frac{2 \cdot \sqrt{8}}{5} + \frac{1}{13} = \frac{2 \cdot 2.83}{5} + \frac{1}{13} = 1.13 + 0.08 = 1.21 \text{ giờ} \] - Khi \( x = 1.5 \): \[ t_{XY} = \frac{2\sqrt{9 - 1.5^2}}{5} + \frac{3 - 2 \cdot 1.5}{13} = \frac{2 \cdot \sqrt{5.25}}{5} + \frac{0}{13} = \frac{2 \cdot 2.29}{5} = 0.92 \text{ giờ} \] Từ các giá trị trên, ta thấy rằng khi \( x = 1.5 \), thời gian chạy từ \( X \) đến \( Y \) là nhỏ nhất. 4. Tính nồng độ chất độc trong máu khi ông Vinh về đến trại: Thời gian chạy từ \( X \) đến \( Y \) là 0.92 giờ. Nồng độ chất độc trong máu sau thời gian \( t \) giờ là: \[ y = 50 \log(t + 2) \] Thay \( t = 0.92 \) vào công thức: \[ y = 50 \log(0.92 + 2) = 50 \log(2.92) \approx 50 \times 0.465 = 23.25 \] Vậy nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi ông Vinh về đến trại là khoảng 23.3 (làm tròn đến hàng phần chục). Đáp số: 23.3 Câu 2: Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) thẳng hàng, vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và vectơ \(\overrightarrow{AC}\) phải cùng phương. Ta sẽ tính các vectơ này và tìm điều kiện để chúng cùng phương. 1. Tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 1; 2 - 1; 1 + 3) = (-3; 1; 4) \] 2. Tính vectơ \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (x - 1; y - 1; z + 3) \] 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương: \[ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC} \] \[ (-3; 1; 4) = k \cdot (x - 1; y - 1; z + 3) \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ -3 = k(x - 1) \] \[ 1 = k(y - 1) \] \[ 4 = k(z + 3) \] Giải hệ phương trình này để tìm \(k\), \(x\), \(y\), và \(z\): Từ phương trình thứ hai: \[ k = \frac{1}{y - 1} \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ -3 = \frac{1}{y - 1}(x - 1) \implies -3(y - 1) = x - 1 \implies x = -3y + 2 \] Thay vào phương trình thứ ba: \[ 4 = \frac{1}{y - 1}(z + 3) \implies 4(y - 1) = z + 3 \implies z = 4y - 7 \] Vậy ta đã tìm được \(x\), \(y\), và \(z\) theo \(y\): \[ x = -3y + 2 \] \[ z = 4y - 7 \] Bây giờ, ta tính \(3x - y + 2z\): \[ 3x - y + 2z = 3(-3y + 2) - y + 2(4y - 7) \] \[ = -9y + 6 - y + 8y - 14 \] \[ = -2y - 8 \] Vậy giá trị của \(3x - y + 2z\) là \(-2y - 8\). Đáp số: \(-2y - 8\). Câu 3: Trước tiên, ta cần tính tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ trong tứ diện đều ABCD. 1. Xác định góc giữa hai véc tơ: - Vì ABCD là tứ diện đều, nên tất cả các mặt của nó đều là tam giác đều. - Góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là góc giữa hai cạnh của tam giác đều, tức là 60°. 2. Áp dụng công thức tính tích vô hướng: - Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) \] - Ở đây, $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$, và $\theta = 60^\circ$. - Ta có: \[ |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = 7 \] \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] 3. Thực hiện phép tính: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 7 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 49 \cdot \frac{1}{2} = \frac{49}{2} \] 4. Tìm giá trị của biểu thức \( T = 7a - 8b \): - Ta đã có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{49}{2}$, do đó $a = 49$ và $b = 2$. - Thay vào biểu thức \( T \): \[ T = 7a - 8b = 7 \cdot 49 - 8 \cdot 2 = 343 - 16 = 327 \] Đáp số: \[ T = 327 \] Câu 4: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( MA^2 + MB^2 \), ta sẽ tính \( MA^2 \) và \( MB^2 \) trước. - \( MA^2 = (a - 1)^2 + (b - 2)^2 + (0 - 1)^2 = (a - 1)^2 + (b - 2)^2 + 1 \) - \( MB^2 = (a - 2)^2 + (b + 1)^2 + (0 - 3)^2 = (a - 2)^2 + (b + 1)^2 + 9 \) Do đó: \[ MA^2 + MB^2 = (a - 1)^2 + (b - 2)^2 + 1 + (a - 2)^2 + (b + 1)^2 + 9 \] Phát triển các bình phương: \[ MA^2 + MB^2 = (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 4b + 4) + 1 + (a^2 - 4a + 4) + (b^2 + 2b + 1) + 9 \] \[ = a^2 - 2a + 1 + b^2 - 4b + 4 + 1 + a^2 - 4a + 4 + b^2 + 2b + 1 + 9 \] \[ = 2a^2 + 2b^2 - 6a - 2b + 20 \] Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( 2a^2 + 2b^2 - 6a - 2b + 20 \). Để làm điều này, ta sẽ hoàn thành bình phương: \[ 2a^2 + 2b^2 - 6a - 2b + 20 = 2(a^2 - 3a) + 2(b^2 - b) + 20 \] Hoàn thành bình phương: \[ a^2 - 3a = (a - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \] \[ b^2 - b = (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \] Do đó: \[ 2(a^2 - 3a) + 2(b^2 - b) + 20 = 2((a - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 2((b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 20 \] \[ = 2(a - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 2(b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 20 \] \[ = 2(a - \frac{3}{2})^2 + 2(b - \frac{1}{2})^2 + 18 \] Biểu thức \( 2(a - \frac{3}{2})^2 + 2(b - \frac{1}{2})^2 + 18 \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( (a - \frac{3}{2})^2 = 0 \) và \( (b - \frac{1}{2})^2 = 0 \). Điều này xảy ra khi \( a = \frac{3}{2} \) và \( b = \frac{1}{2} \). Vậy giá trị nhỏ nhất của \( MA^2 + MB^2 \) là 18, đạt được khi \( a = \frac{3}{2} \) và \( b = \frac{1}{2} \). Tính \( a + b \): \[ a + b = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \] Đáp số: \( a + b = 2 \) Câu 5: Để tính độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư ở hai lĩnh vực A và B, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính trung bình cộng của mỗi mẫu số liệu Lĩnh vực A: - Số nhà đầu tư: 2 + 5 + 8 + 6 + 4 = 25 - Tiền lãi trung bình: \[ \bar{x}_A = \frac{(7.5 \times 2) + (12.5 \times 5) + (17.5 \times 8) + (22.5 \times 6) + (27.5 \times 4)}{25} \] \[ = \frac{15 + 62.5 + 140 + 135 + 110}{25} = \frac{462.5}{25} = 18.5 \text{ (triệu đồng)} \] Lĩnh vực B: - Số nhà đầu tư: 8 + 4 + 2 + 5 + 6 = 25 - Tiền lãi trung bình: \[ \bar{x}_B = \frac{(7.5 \times 8) + (12.5 \times 4) + (17.5 \times 2) + (22.5 \times 5) + (27.5 \times 6)}{25} \] \[ = \frac{60 + 50 + 35 + 112.5 + 165}{25} = \frac{422.5}{25} = 16.9 \text{ (triệu đồng)} \] Bước 2: Tính phương sai của mỗi mẫu số liệu Lĩnh vực A: \[ s_A^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}_A)^2}{n} \] \[ = \frac{(7.5 - 18.5)^2 \times 2 + (12.5 - 18.5)^2 \times 5 + (17.5 - 18.5)^2 \times 8 + (22.5 - 18.5)^2 \times 6 + (27.5 - 18.5)^2 \times 4}{25} \] \[ = \frac{(-11)^2 \times 2 + (-6)^2 \times 5 + (-1)^2 \times 8 + 4^2 \times 6 + 9^2 \times 4}{25} \] \[ = \frac{242 + 180 + 8 + 96 + 324}{25} = \frac{850}{25} = 34 \] Lĩnh vực B: \[ s_B^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}_B)^2}{n} \] \[ = \frac{(7.5 - 16.9)^2 \times 8 + (12.5 - 16.9)^2 \times 4 + (17.5 - 16.9)^2 \times 2 + (22.5 - 16.9)^2 \times 5 + (27.5 - 16.9)^2 \times 6}{25} \] \[ = \frac{(-9.4)^2 \times 8 + (-4.4)^2 \times 4 + 0.6^2 \times 2 + 5.6^2 \times 5 + 10.6^2 \times 6}{25} \] \[ = \frac{707.2 + 77.44 + 0.72 + 156.8 + 672.96}{25} = \frac{1614.12}{25} = 64.5648 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu Lĩnh vực A: \[ s_A = \sqrt{s_A^2} = \sqrt{34} \approx 5.83 \text{ (triệu đồng)} \] Lĩnh vực B: \[ s_B = \sqrt{s_B^2} = \sqrt{64.5648} \approx 8.03 \text{ (triệu đồng)} \] Ý nghĩa của các số thu được: - Độ lệch chuẩn của lĩnh vực A là khoảng 5.83 triệu đồng, điều này cho thấy mức độ biến động của tiền lãi trong lĩnh vực A là khá thấp. - Độ lệch chuẩn của lĩnh vực B là khoảng 8.03 triệu đồng, điều này cho thấy mức độ biến động của tiền lãi trong lĩnh vực B là cao hơn so với lĩnh vực A. Như vậy, các nhà đầu tư khi đầu tư vào lĩnh vực B có thể gặp nhiều rủi ro hơn do mức độ biến động của tiền lãi cao hơn so với lĩnh vực A. Câu 6: Để tính phương sai của mẫu số liệu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng (trung vị) của mẫu số liệu: - Xác định các khoảng trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm $[1;5)$: Khoảng trung tâm là $\frac{1+5}{2} = 3$ - Nhóm $(5;9)$: Khoảng trung tâm là $\frac{5+9}{2} = 7$ - Nhóm $(9;13)$: Khoảng trung tâm là $\frac{9+13}{2} = 11$ - Nhóm $(13;17)$: Khoảng trung tâm là $\frac{13+17}{2} = 15$ - Nhóm $(17;21)$: Khoảng trung tâm là $\frac{17+21}{2} = 19$ - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó, $f_i$ là tần số của nhóm thứ $i$, và $x_i$ là khoảng trung tâm của nhóm thứ $i$. \[ \bar{x} = \frac{(4 \times 3) + (8 \times 7) + (13 \times 11) + (6 \times 15) + (4 \times 19)}{4 + 8 + 13 + 6 + 4} \] \[ \bar{x} = \frac{12 + 56 + 143 + 90 + 76}{35} = \frac{377}{35} \approx 10.77 \] 2. Tính phương sai: - Phương sai được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] \[ s^2 = \frac{4(3 - 10.77)^2 + 8(7 - 10.77)^2 + 13(11 - 10.77)^2 + 6(15 - 10.77)^2 + 4(19 - 10.77)^2}{35} \] \[ s^2 = \frac{4(-7.77)^2 + 8(-3.77)^2 + 13(0.23)^2 + 6(4.23)^2 + 4(8.23)^2}{35} \] \[ s^2 = \frac{4(60.3729) + 8(14.2129) + 13(0.0529) + 6(17.8929) + 4(67.7329)}{35} \] \[ s^2 = \frac{241.4916 + 113.7032 + 0.6877 + 107.3574 + 270.9316}{35} \] \[ s^2 = \frac{733.1715}{35} \approx 20.95 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu là 20.95 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).