Câu 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm khoảng cách từ X đến Y:
- Ta có km.
- km.
- km.
Do đó, khoảng cách từ đến là:
Khoảng cách từ đến là:
Khoảng cách từ đến là:
Tổng khoảng cách từ đến qua và là:
2. Tính thời gian chạy từ đến :
- Thời gian chạy trong rừng từ đến và từ đến :
- Thời gian chạy trên bãi biển từ đến :
Tổng thời gian chạy từ đến là:
3. Tìm giá trị để thời gian chạy từ đến là nhỏ nhất:
Ta cần tìm giá trị sao cho tổng thời gian chạy từ đến là nhỏ nhất. Điều này tương đương với việc tìm giá trị sao cho:
là nhỏ nhất.
Để tìm giá trị tối ưu, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, do yêu cầu của đề bài, ta sẽ sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị trong khoảng (vì phải thỏa mãn ).
Thử nghiệm các giá trị gần gũi:
- Khi :
- Khi :
- Khi :
Từ các giá trị trên, ta thấy rằng khi , thời gian chạy từ đến là nhỏ nhất.
4. Tính nồng độ chất độc trong máu khi ông Vinh về đến trại:
Thời gian chạy từ đến là 0.92 giờ. Nồng độ chất độc trong máu sau thời gian giờ là:
Thay vào công thức:
Vậy nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi ông Vinh về đến trại là khoảng 23.3 (làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp số: 23.3
Câu 2:
Để ba điểm , , và thẳng hàng, vectơ và vectơ phải cùng phương. Ta sẽ tính các vectơ này và tìm điều kiện để chúng cùng phương.
1. Tính vectơ :
2. Tính vectơ :
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
Từ đây ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình này để tìm , , , và :
Từ phương trình thứ hai:
Thay vào phương trình thứ nhất:
Thay vào phương trình thứ ba:
Vậy ta đã tìm được , , và theo :
Bây giờ, ta tính :
Vậy giá trị của là .
Đáp số: .
Câu 3:
Trước tiên, ta cần tính tích vô hướng của hai véc tơ và trong tứ diện đều ABCD.
1. Xác định góc giữa hai véc tơ:
- Vì ABCD là tứ diện đều, nên tất cả các mặt của nó đều là tam giác đều.
- Góc giữa hai véc tơ và là góc giữa hai cạnh của tam giác đều, tức là 60°.
2. Áp dụng công thức tính tích vô hướng:
- Tích vô hướng của hai véc tơ và được tính theo công thức:
- Ở đây, , , và .
- Ta có:
3. Thực hiện phép tính:
4. Tìm giá trị của biểu thức :
- Ta đã có , do đó và .
- Thay vào biểu thức :
Đáp số:
Câu 4:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của , ta sẽ tính và trước.
-
-
Do đó:
Phát triển các bình phương:
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Để làm điều này, ta sẽ hoàn thành bình phương:
Hoàn thành bình phương:
Do đó:
Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi và . Điều này xảy ra khi và .
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 18, đạt được khi và .
Tính :
Đáp số:
Câu 5:
Để tính độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư ở hai lĩnh vực A và B, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính trung bình cộng của mỗi mẫu số liệu
Lĩnh vực A:
- Số nhà đầu tư: 2 + 5 + 8 + 6 + 4 = 25
- Tiền lãi trung bình:
Lĩnh vực B:
- Số nhà đầu tư: 8 + 4 + 2 + 5 + 6 = 25
- Tiền lãi trung bình:
Bước 2: Tính phương sai của mỗi mẫu số liệu
Lĩnh vực A:
Lĩnh vực B:
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu
Lĩnh vực A:
Lĩnh vực B:
Ý nghĩa của các số thu được:
- Độ lệch chuẩn của lĩnh vực A là khoảng 5.83 triệu đồng, điều này cho thấy mức độ biến động của tiền lãi trong lĩnh vực A là khá thấp.
- Độ lệch chuẩn của lĩnh vực B là khoảng 8.03 triệu đồng, điều này cho thấy mức độ biến động của tiền lãi trong lĩnh vực B là cao hơn so với lĩnh vực A.
Như vậy, các nhà đầu tư khi đầu tư vào lĩnh vực B có thể gặp nhiều rủi ro hơn do mức độ biến động của tiền lãi cao hơn so với lĩnh vực A.
Câu 6:
Để tính phương sai của mẫu số liệu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tính trung bình cộng (trung vị) của mẫu số liệu:
- Xác định các khoảng trung tâm của mỗi nhóm:
- Nhóm : Khoảng trung tâm là
- Nhóm : Khoảng trung tâm là
- Nhóm : Khoảng trung tâm là
- Nhóm : Khoảng trung tâm là
- Nhóm : Khoảng trung tâm là
- Tính trung bình cộng:
Trong đó, là tần số của nhóm thứ , và là khoảng trung tâm của nhóm thứ .
2. Tính phương sai:
- Phương sai được tính theo công thức:
Vậy phương sai của mẫu số liệu là 20.95 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).