Tính bình phương tâm sai của elip. Câu 20. Cho ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1~(ab)$ có tâm sai $e=\frac1{\sqrt2},$ và đoạn thẳng nối hai điểm trên ellipse, đi qua một,tiêu điểm và có phương vuông góc trục chính có độ dài bằng $\sqrt{14}.$ Bình phương tâm sai của ellipse $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ có,giá trị bằng:

Question

Tính bình phương tâm sai của elip. Câu 20. Cho ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1~(a>b)$ có tâm sai $e=\frac1{\sqrt2},$ và đoạn thẳng nối hai điểm trên ellipse, đi qua một,tiêu điểm và có phương vuông góc trục chính có độ dài bằng $\sqrt{14}.$ Bình phương tâm sai của ellipse $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ có,giá trị bằng:

Accepted Answer

Câu 20:
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm các thông số của ellipse:

Đầu tiên, ta có phương trình của ellipse là:
   $$
   \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
   $$
   với $a > b$.

Tâm sai của ellipse được cho là $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Tâm sai của ellipse được tính bằng công thức:
   $$
   e = \frac{c}{a}
   $$
   trong đó $c = \sqrt{a^2 - b^2}$.

Từ $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$, ta có:
   $$
   \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}
   $$
   Bình phương hai vế, ta được:
   $$
   \frac{a^2 - b^2}{a^2} = \frac{1}{2}
   $$
   Suy ra:
   $$
   a^2 - b^2 = \frac{a^2}{2}
   $$
   $$
   2(a^2 - b^2) = a^2
   $$
   $$
   2a^2 - 2b^2 = a^2
   $$
   $$
   a^2 = 2b^2
   $$

2. Tìm độ dài đoạn thẳng qua tiêu điểm:

Đoạn thẳng nối hai điểm trên ellipse, đi qua một tiêu điểm và có phương vuông góc trục chính có độ dài bằng $\sqrt{14}$. Đoạn thẳng này có độ dài bằng $2b$ vì nó vuông góc với trục chính (trục $x$).

Do đó, ta có:
   $$
   2b = \sqrt{14}
   $$
   $$
   b = \frac{\sqrt{14}}{2}
   $$

3. Tính $a$:

Từ $a^2 = 2b^2$, ta có:
   $$
   a^2 = 2 \left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^2 = 2 \times \frac{14}{4} = 7
   $$
   $$
   a = \sqrt{7}
   $$

4. Tính bình phương tâm sai của hyperbol:

Phương trình của hyperbol là:
   $$
   \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
   $$
   Tâm sai của hyperbol được tính bằng công thức:
   $$
   e' = \frac{c'}{a}
   $$
   với $c' = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Ta có:
   $$
   c' = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7 + \frac{14}{4}} = \sqrt{7 + \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{21}{2}}
   $$

Tâm sai của hyperbol là:
   $$
   e' = \frac{\sqrt{\frac{21}{2}}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{3}{2}}
   $$

Bình phương tâm sai của hyperbol là:
   $$
   (e')^2 = \frac{3}{2}
   $$

Vậy, bình phương tâm sai của hyperbol là $\frac{3}{2}$.