Tính tổng m + a + b + c. Câu 19. Cho hàm số $f:\mathbb{R} ightarrow\mathbb{R}$ được cho bởi $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{a-b\cos2x}{x^2}&khi~x1\end{array} ight..$ Nếu hàm số $f(x)$ liên tục,trên $\mathbb{R},$ và gọi m là số điểm không khả vi của hàm số $f(x),$ vậy tổng $m+a+b+c$ có giá trị bằng

Question

Tính tổng m + a + b + c. Câu 19. Cho hàm số $f:\mathbb{R}ightarrow\mathbb{R}$ được cho bởi $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{a-b\cos2x}{x^2}&khi~x<0\x^2+cx+2&khi~0\leq x\leq1\2x+1&khi~x>1\end{array}ight..$ Nếu hàm số $f(x)$ liên tục,trên $\mathbb{R},$ và gọi m là số điểm không khả vi của hàm số $f(x),$ vậy tổng $m+a+b+c$ có giá trị bằng

Accepted Answer

Câu 19:
Để hàm số $ f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $, ta cần đảm bảo rằng hàm số liên tục tại các điểm chuyển tiếp $ x = 0 $ và $ x = 1 $.

1. Liên tục tại $ x = 0 $:
   - Khi $ x \to 0^- $:
     $$
     \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{a - b \cos 2x}{x^2}
     $$
     Ta sử dụng công thức Taylor để mở rộng $ \cos 2x $:
     $$
     \cos 2x \approx 1 - 2x^2 + o(x^2)
     $$
     Do đó:
     $$
     \lim_{x \to 0^-} \frac{a - b(1 - 2x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{a - b + 2bx^2}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{a - b}{x^2} + 2b \right)
     $$
     Để giới hạn này tồn tại, ta cần $ a - b = 0 $, tức là $ a = b $. Khi đó:
     $$
     \lim_{x \to 0^-} f(x) = 2b
     $$

- Khi $ x \to 0^+ $:
     $$
     \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + cx + 2) = 2
     $$

- Để hàm số liên tục tại $ x = 0 $, ta cần:
     $$
     2b = 2 \implies b = 1 \implies a = 1
     $$

2. Liên tục tại $ x = 1 $:
   - Khi $ x \to 1^- $:
     $$
     \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + cx + 2) = 1 + c + 2 = 3 + c
     $$

- Khi $ x \to 1^+ $:
     $$
     \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x + 1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3
     $$

- Để hàm số liên tục tại $ x = 1 $, ta cần:
     $$
     3 + c = 3 \implies c = 0
     $$

3. Số điểm không khả vi của hàm số $ f(x) $:
   - Hàm số $ f(x) $ có dạng đa thức trong các khoảng $ (-\infty, 0) $, $ [0, 1] $, và $ (1, \infty) $, nên nó khả vi trong các khoảng này.
   - Tuy nhiên, tại các điểm chuyển tiếp $ x = 0 $ và $ x = 1 $, hàm số có thể không khả vi do sự thay đổi đột ngột của đạo hàm.
   - Kiểm tra tính khả vi tại $ x = 0 $:
     $$
     \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{1 - \cos 2x}{x^2} - 2}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{1 - \cos 2x - 2x^2}{x^3}
     $$
     Sử dụng công thức Taylor:
     $$
     1 - \cos 2x \approx 2x^2 - \frac{(2x)^4}{24} = 2x^2 - \frac{16x^4}{24} = 2x^2 - \frac{2x^4}{3}
     $$
     Do đó:
     $$
     \lim_{x \to 0^-} \frac{2x^2 - \frac{2x^4}{3} - 2x^2}{x^3} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-\frac{2x^4}{3}}{x^3} = \lim_{x \to 0^-} -\frac{2x}{3} = 0
     $$
     Và:
     $$
     \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + 0 \cdot x + 2 - 2}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} x = 0
     $$
     Vậy hàm số khả vi tại $ x = 0 $.

- Kiểm tra tính khả vi tại $ x = 1 $:
     $$
     \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + 0 \cdot x + 2 - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2
     $$
     Và:
     $$
     \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x + 1 - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} 2 = 2
     $$
     Vậy hàm số khả vi tại $ x = 1 $.

Do đó, hàm số $ f(x) $ không có điểm nào không khả vi. Vậy $ m = 0 $.

Tổng $ m + a + b + c $ có giá trị bằng:
$$
m + a + b + c = 0 + 1 + 1 + 0 = 2
$$

Đáp số: $ 2 $