Giúp với ạ

Câu 20: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm C. 2. Tính diện tích tam giác ABC. Bước 1: Tìm tọa độ của điểm C Vì điểm C nằm trên trục Ox và có hoành độ dương, nên tọa độ của C có dạng $(x; 0; 0)$ với $x > 0$. Ta biết rằng tam giác ABC vuông tại C, do đó $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$. Tính các vectơ: - $\overrightarrow{CA} = A - C = (1 - x; 2 - 0; 0 - 0) = (1 - x; 2; 0)$ - $\overrightarrow{CB} = B - C = (2 - x; -1 - 0; 1 - 0) = (2 - x; -1; 1)$ Áp dụng điều kiện vuông góc: \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (1 - x)(2 - x) + 2(-1) + 0 \cdot 1 = 0 \] \[ (1 - x)(2 - x) - 2 = 0 \] \[ 2 - x - 2x + x^2 - 2 = 0 \] \[ x^2 - 3x = 0 \] \[ x(x - 3) = 0 \] Vậy $x = 0$ hoặc $x = 3$. Vì $x > 0$, ta chọn $x = 3$. Do đó, tọa độ của C là $(3; 0; 0)$. Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \] Tính các độ dài vectơ: - $|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(1 - 3)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ - $|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~\sqrt{6}} \] Câu 21: Hình chiếu vuông góc của điểm \( A(-1;2;3) \) lên mặt phẳng \( (Oxy) \) là điểm có tọa độ \( (-1;2;0) \). Lý do: - Mặt phẳng \( (Oxy) \) có phương trình là \( z = 0 \). - Hình chiếu vuông góc của điểm \( A \) lên mặt phẳng \( (Oxy) \) là điểm có cùng tọa độ \( x \) và \( y \) với điểm \( A \), nhưng tọa độ \( z \) bằng 0. Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( A(-1;2;3) \) lên mặt phẳng \( (Oxy) \) là điểm \( B(-1;2;0) \). Đáp án đúng là: \( B.~(-1;2;0) \). Câu 22: Để ba điểm \( A(-1;1;2) \), \( B(0;1;-1) \) và \( C(x+2;y;-2) \) thẳng hàng, ta cần kiểm tra điều kiện để các vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương. 1. Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - (-1); 1 - 1; -1 - 2) = (1; 0; -3) \] 2. Tính vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = ((x + 2) - (-1); y - 1; -2 - 2) = (x + 3; y - 1; -4) \] 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương: \[ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC} \] \[ (1; 0; -3) = k \cdot (x + 3; y - 1; -4) \] 4. Xác định giá trị của \( k \) từ các thành phần tương ứng: \[ 1 = k(x + 3) \quad \text{(1)} \] \[ 0 = k(y - 1) \quad \text{(2)} \] \[ -3 = k(-4) \quad \text{(3)} \] 5. Giải phương trình (3) để tìm \( k \): \[ -3 = -4k \implies k = \frac{3}{4} \] 6. Thay \( k = \frac{3}{4} \) vào phương trình (1): \[ 1 = \frac{3}{4}(x + 3) \implies 4 = 3(x + 3) \implies 4 = 3x + 9 \implies 3x = -5 \implies x = -\frac{5}{3} \] 7. Thay \( k = \frac{3}{4} \) vào phương trình (2): \[ 0 = \frac{3}{4}(y - 1) \implies y - 1 = 0 \implies y = 1 \] 8. Tính tổng \( x + y \): \[ x + y = -\frac{5}{3} + 1 = -\frac{5}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{2}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{-\frac{2}{3}} \]